En matemáticas , el método de características es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales . Normalmente, se aplica a ecuaciones de primer orden , aunque de manera más general el método de características es válido para cualquier ecuación diferencial parcial hiperbólica . El método consiste en reducir una ecuación diferencial parcial a una familia de ecuaciones diferenciales ordinarias a lo largo de las cuales la solución puede integrarse a partir de algunos datos iniciales dados en una hipersuperficie adecuada .
Características de la ecuación diferencial parcial de primer orden
Para una PDE ( ecuación diferencial parcial ) de primer orden , el método de características descubre curvas (llamadas curvas características o simplemente características) a lo largo de las cuales la PDE se convierte en una ecuación diferencial ordinaria (ODE). Una vez que se encuentra la EDO, se puede resolver a lo largo de las curvas características y transformar en una solución para la PDE original.
En aras de la simplicidad, nos limitamos nuestra atención en el caso de una función de dos variables independientes x e y por el momento. Considere una PDE cuasilineal[1] del formulario
( 1 )
Suponga que se conoce una solución z y considere la gráfica de superficie z = z ( x , y ) en R 3 . Un vector normal a esta superficie viene dado por
Como resultado, [2] la ecuación ( 1 ) es equivalente al enunciado geométrico de que el campo vectorial
es tangente a la superficie z = z ( x , y ) en cada punto, ya que el producto escalar de este campo vectorial con el vector normal anterior es cero. En otras palabras, la gráfica de la solución debe ser una unión de curvas integrales de este campo vectorial. Estas curvas integrales se denominan curvas características de la ecuación diferencial parcial original y están dadas por las ecuaciones de Lagrange- Charpit [3]
Una forma invariante de parametrización de las ecuaciones de Lagrange-Charpit [3] es:
Casos lineales y cuasilineales
Considere ahora un PDE de la forma
Para que esta PDE sea lineal , los coeficientes a i pueden ser funciones de las variables espaciales únicamente e independientes de u . Para que sea cuasilineal, [1] a i también puede depender del valor de la función, pero no de ninguna derivada. La distinción entre estos dos casos no es esencial para la discusión aquí.
Para una PDE lineal o cuasilineal, las curvas características vienen dadas paramétricamente por
de modo que se satisfaga el siguiente sistema de EDO
( 2 )
( 3 )
Las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ) dan las características de la PDE.
Prueba de caso cuasilineal
En el caso cuasilineal, el uso del método de características se justifica por la desigualdad de Grönwall . La ecuación anterior se puede escribir como
Debemos distinguir entre las soluciones a la EDO y las soluciones al PDE, que no sabemos que sean iguales a priori. Dejando que las letras mayúsculas sean las soluciones a la EDO que encontramos
Examinando , encontramos, al diferenciar que
que es lo mismo que
No podemos concluir que lo anterior es 0 como nos gustaría, ya que el PDE solo nos garantiza que esta relación se satisface por , , y aún no sabemos que .
Sin embargo, podemos ver que
ya que por el PDE, el último término es 0. Esto es igual a
Por la desigualdad del triángulo, tenemos
Asumiendo son al menos , podemos limitar esto por pequeños momentos. Elige un barrio alrededor lo suficientemente pequeño como para son localmente Lipschitz . Por continuidad, permanecerá en por lo suficientemente pequeño . Desde, también tenemos eso Estará en por lo suficientemente pequeño por continuidad. Entonces, y por . Adicionalmente, para algunos por por compacidad. A partir de esto, encontramos que lo anterior está acotado como
para algunos . Es una sencilla aplicación de la Desigualdad de Grönwall para mostrar que desde tenemos mientras se mantenga esta desigualdad. Tenemos un intervalo tal que en este intervalo. Elija el más grandetal que esto sea cierto. Entonces, por continuidad,. Siempre que la EDO todavía tenga una solución en algún intervalo después, podemos repetir el argumento anterior para encontrar que en un intervalo mayor. Por lo tanto, siempre que la EDO tenga una solución, tenemos.
Caso completamente no lineal
Considere la ecuación diferencial parcial
( 4 )
donde las variables p i son abreviaturas de las derivadas parciales
Sea ( x i ( s ), u ( s ), p i ( s )) una curva en R 2n + 1 . Suponga que u es cualquier solución, y que
A lo largo de una solución, diferenciar ( 4 ) con respecto a s da
La segunda ecuación se sigue de aplicar la regla de la cadena a una solución u , y la tercera se sigue tomando una derivada exterior de la relación. Manipular estas ecuaciones da
donde λ es una constante. Escribiendo estas ecuaciones de forma más simétrica, se obtienen las ecuaciones de Lagrange-Charpit para la característica
Geométricamente, el método de características en el caso completamente no lineal se puede interpretar en el sentido de que requiere que el cono de Monge de la ecuación diferencial sea en todas partes tangente a la gráfica de la solución.
Para obtener una forma pedagógica de derivar las ecuaciones de Lagrange-Charpit, consulte el capítulo 4 en [1] .
Ejemplo
Como ejemplo, considere la ecuación de advección (este ejemplo asume familiaridad con la notación PDE y soluciones para EDO básicas).
dónde es constante y es una función de y . Queremos transformar esta PDE lineal de primer orden en una EDO a lo largo de la curva apropiada; es decir, algo de la forma
dónde es una línea característica. Primero, encontramos
por la regla de la cadena. Ahora, si establecemos y obtenemos
que es el lado izquierdo del PDE con el que comenzamos. Por lo tanto
Entonces, a lo largo de la línea característica , el PDE original se convierte en el ODE . Es decir que a lo largo de las características, la solución es constante. Por lo tanto, dónde y mienten en la misma característica. Por lo tanto, para determinar la solución general, basta con encontrar las características resolviendo el sistema característico de las EDO:
- , dejando sabemos ,
- , dejando sabemos ,
- , dejando sabemos .
En este caso, las líneas características son líneas rectas con pendiente , y el valor de permanece constante a lo largo de cualquier línea característica.
Características de los operadores diferenciales lineales
Sea X una variedad diferenciable y P un operador diferencial lineal
de orden k . En un sistema de coordenadas local x i ,
en el que α denota un índice múltiple . El símbolo principal de P , denotado σ P , es la función en el paquete cotangente T ∗ X definido en estas coordenadas locales por
donde ξ i son las coordenadas de la fibra en el haz cotangente inducido por los diferenciales de coordenadas dx i . Aunque esto se define usando un sistema de coordenadas particular, la ley de transformación que relaciona ξ i y x i asegura que σ P es una función bien definida en el paquete cotangente.
La función σ P es homogénea de grado k en la variable ξ . Los ceros de σ P , lejos de la sección cero de T * X , son las características de P . Una hipersuperficie de X definida por la ecuación F ( x ) = c se denomina hipersuperficie característica en x si
Invariantly, una hipersuperficie característica es una hipersuperficie cuyo haz conormal está en el conjunto característico de P .
Análisis cualitativo de características
Las características también son una herramienta poderosa para obtener una visión cualitativa de un PDE.
Se pueden utilizar los cruces de las características para encontrar ondas de choque para el flujo potencial en un fluido compresible. Intuitivamente, podemos pensar en cada línea característica que implica una solución aa lo largo de sí mismo. Por lo tanto, cuando dos características se cruzan, la función se vuelve de valor múltiple, lo que resulta en una solución no física. Físicamente, esta contradicción se elimina con la formación de una onda de choque, una discontinuidad tangencial o una discontinuidad débil y puede resultar en un flujo no potencial, violando los supuestos iniciales.
Es posible que las características no cubran parte del dominio de la PDE. Esto se llama rarefacción e indica que la solución normalmente existe solo en un sentido débil, es decir , ecuación integral .
La dirección de las líneas características indican el flujo de valores a través de la solución, como demuestra el ejemplo anterior. Este tipo de conocimiento es útil al resolver PDE numéricamente, ya que puede indicar qué esquema de diferencias finitas es mejor para el problema.
Ver también
Notas
Referencias
- Courant, Richard ; Hilbert, David (1962), Métodos de física matemática, Volumen II , Wiley-Interscience
- Delgado, Manuel (1997), "The Lagrange-Charpit Method", SIAM Review , 39 (2): 298-304, Bibcode : 1997SIAMR..39..298D , doi : 10.1137 / S0036144595293534 , JSTOR 2133111
- Evans, Lawrence C. (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
- John, Fritz (1991), Ecuaciones diferenciales parciales (4a ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
- Polianina, AD; Zaitsev, VF; Moussiaux, A. (2002), Manual de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden , Londres: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
- Polyanin, AD (2002), Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
- Sarra, Scott (2003), "El método de las características con aplicaciones a las leyes de conservación" , Revista de matemáticas en línea y sus aplicaciones.
- Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Mecánica de fluidos (Novena edición revisada internacional), McGraw-Hill Higher Education
enlaces externos
- Tutorial del profesor Scott Sarra sobre el método de características
- Tutorial del profesor Alan Hood sobre el método de características