En la teoría de Galois , una rama de las matemáticas , el problema de incrustación es una generalización del problema de Galois inverso . En términos generales, se pregunta si una extensión de Galois determinada se puede incrustar en una extensión de Galois de tal manera que se proporcione el mapa de restricción entre los grupos de Galois correspondientes .
Definición
Dado un campo K y un grupo finito H , se puede plantear la siguiente pregunta (el llamado problema de Galois inverso ). ¿Existe una extensión de Galois F / K con el grupo de Galois isomorfo a H ? El problema de la incrustación es una generalización de este problema:
Sea L / K una extensión de Galois con el grupo G de Galois y sea f : H → G un epimorfismo. ¿Existe una extensión de Galois F / K con el grupo de Galois H y una incrustación α : L → F que fija K bajo la cual el mapa de restricción del grupo de Galois de F / K al grupo de Galois de L / K coincide con f ?
Análogamente, un problema de incrustación para un grupo profinito F consta de los siguientes datos: dos grupos profinito H y G y dos epimorfismos continuas varphi : F → G y F : H → G . Se dice que el problema de la incrustación es finito si el grupo H lo es. Una solución (a veces también llamada solución débil) de tal problema de incrustación es un homomorfismo continuo γ : F → H tal que φ = f γ . Si la solución es sobreyectiva, se denomina solución adecuada .
Propiedades
Los problemas de inclusión finitos caracterizan a los grupos profinitos. El siguiente teorema ilustra este principio.
Teorema. Sea F un grupo profinito generado contablemente (topológicamente). Luego
- F es proyectiva si y solo si cualquier problema de incrustación finito para F tiene solución .
- F está libre de rango contable si y solo si cualquier problema de incrustación finito para F se puede resolver adecuadamente.
Referencias
- Luis Ribes, Introducción a los grupos profinitos y cohomología de Galois (1970), Queen's Papers in Pure and Appl. Matemáticas., No. 24, Queen's University, Kingstone, Ontario.
- VV Ishkhanov, BB Lur'e, DK Faddeev, El problema de la incrustación en la teoría de Galois Traducciones de monografías matemáticas, vol. 165, Sociedad Matemática Estadounidense (1997).
- Michael D. Fried y Moshe Jarden, Field arithmetic , segunda ed., Revisada y ampliada por Moshe Jarden, Ergebnisse der Mathematik (3) 11 , Springer-Verlag, Heidelberg, 2005.
- A. Ledet, problemas de incrustación tipo Brauer Monografías del Fields Institute, no. 21, (2005).
- Vahid Shirbisheh, Problemas de integración de Galois con núcleos abelianos del exponente p VDM Verlag Dr. Müller , ISBN 978-3-639-14067-5 , (2009).
- Almobaideen Wesam, Qatawneh Mohammad, Sleit Azzam, Salah Imad, esquema de mapeo eficiente de topología de anillo en hipercubos de árboles , Journal of Applied Sciences , 2007