Es cada grupo finito del grupo de Galois de una extensión de Galois de los números racionales ?
En la teoría de Galois , el problema de Galois inverso se refiere a si cada grupo finito aparece o no como el grupo de Galois de alguna extensión de Galois de los números racionales. . Este problema, planteado por primera vez a principios del siglo XIX, [1] no está resuelto.
Hay algunos grupos de permutación para los que se conocen polinomios genéricos , que definen todas las extensiones algebraicas detener un grupo particular como grupo Galois. Estos grupos incluyen todos de grado no mayor de 5 . También hay grupos que se sabe que no tienen polinomios genéricos, como el grupo cíclico de orden 8 .
De manera más general, sea G un grupo finito dado y sea K un campo. Entonces la pregunta es la siguiente: ¿existe un campo de extensión de Galois L / K tal que el grupo de Galois de la extensión sea isomorfo a G ? Se dice que G es realizable sobre K si tal campo L existe.
Resultados parciales
Existe una gran cantidad de información detallada en casos particulares. Se sabe que cada grupo finito es realizable sobre cualquier campo de función en una variable sobre los números complejos , y más generalmente sobre campos de función en una variable sobre cualquier campo algebraicamente cerrado de característica cero. Igor Shafarevich demostró que todo grupo finito solucionable es realizable sobre. [2] También se sabe que cada grupo esporádico , excepto posiblemente el grupo de Mathieu M 23 , es realizable sobre. [3]
David Hilbert había demostrado que esta pregunta está relacionada con una pregunta de racionalidad para G :
- Si K es una extensión de , en el que G actúa como un grupo de automorfismo y el campo invariante K G es racional sobre , entonces G es realizable sobre .
Aquí racional significa que es una extensión puramente trascendental de, generado por un conjunto algebraicamente independiente . Este criterio se puede utilizar, por ejemplo, para mostrar que todos los grupos simétricos son realizables.
Se ha trabajado mucho en detalle sobre la cuestión, que en ningún sentido está resuelta en general. Algo de esto se basa en construir G geométricamente como una cobertura de Galois de la línea proyectiva : en términos algebraicos, comenzando con una extensión del campode funciones racionales en una t indeterminada . Después de eso, se aplica el teorema de irreductibilidad de Hilbert para especializar t , de tal manera que se preserve el grupo de Galois.
Se sabe que todos los grupos de permutación de grado 16 o menos son realizables sobre ; [4] el grupo PSL (2,16): 2 de grado 17 puede no serlo. [5]
Se sabe que los 13 grupos simples no abelianos más pequeños que PSL (2,25) (orden 7800) son realizables en . [6]
Un ejemplo sencillo: grupos cíclicos
Es posible, usando resultados clásicos, construir explícitamente un polinomio cuyo grupo de Galois sobre es el grupo cíclico Z / n Z para cualquier número entero positivo n . Para hacer esto, elija un primo p tal que p ≡ 1 (mod n ) ; esto es posible mediante el teorema de Dirichlet . Sea Q ( μ ) la extensión ciclotómica degenerado por μ , donde μ es una p -ésima raíz primitiva de la unidad ; el grupo de Galois de Q ( μ ) / Q es cíclico de orden p - 1 .
Dado que n divide p - 1 , el grupo de Galois tiene un subgrupo cíclico H de orden ( p - 1) / n . El teorema fundamental de la teoría de Galois implica que el campo fijo correspondiente, F = Q ( μ ) H , tiene el grupo de Galois Z / n Z sobre. Tomando sumas apropiadas de conjugados de μ , siguiendo la construcción de períodos gaussianos , se puede encontrar un elemento α de F que genera F sobre, Y calcular su polinomio mínimo.
Este método puede extenderse para cubrir todos los grupos abelianos finitos , ya que cada grupo aparece de hecho como un cociente del grupo de Galois de alguna extensión ciclotómica de. (Esta afirmación, sin embargo, no debe confundirse con el teorema de Kronecker-Weber , que es significativamente más profundo).
Ejemplo resuelto: el grupo cíclico de orden tres
Para n = 3 , podemos tomar p = 7 . Entonces Gal ( Q ( μ ) / Q ) es cíclico de orden seis. Tomemos el generador η de este grupo que envía μ a μ 3 . Estamos interesados en el subgrupo H = {1, η 3 } de orden dos. Considere el elemento α = μ + η 3 ( μ ) . Por construcción, α está fijada por H , y solo tiene tres conjugados sobre:
- α = η 0 ( α ) = μ + μ 6 ,
- β = η 1 ( α ) = μ 3 + μ 4 ,
- γ = η 2 ( α ) = μ 2 + μ 5 .
Usando la identidad:
- 1 + μ + μ 2 + ⋯ + μ 6 = 0 ,
uno encuentra que
- α + β + γ = −1 ,
- αβ + βγ + γα = −2 ,
- αβγ = 1 .
Por lo tanto, α es una raíz del polinomio
- ( x - α ) ( x - β ) ( x - γ ) = x 3 + x 2 - 2 x - 1 ,
que en consecuencia tiene el grupo de Galois Z / 3 Z sobre.
Grupos simétricos y alternos
Hilbert demostró que todos los grupos simétricos y alternos se representan como grupos de polinomios de Galois con coeficientes racionales.
El polinomio x n + ax + b tiene discriminante
Cogemos el caso especial
- f ( x , s ) = x n - sx - s .
La sustitución de un número entero primo por s en f ( x , s ) da un polinomio (llamado especialización de f ( x , s ) ) que según el criterio de Eisenstein es irreducible. Entonces f ( x , s ) debe ser irreductible sobre. Además, f ( x , s ) se puede escribir
y f ( x , 1/2) se puede factorizar para:
cuyo segundo factor es irreductible (pero no según el criterio de Eisenstein). Solo el polinomio recíproco es irreducible según el criterio de Eisenstein. Ahora hemos demostrado que el grupo Gal ( f ( x , s ) / Q ( s )) es doblemente transitivo .
Entonces podemos encontrar que este grupo de Galois tiene una transposición. Utilice la escala (1 - n ) x = ny para obtener
y con
llegamos a:
- g ( y , t ) = y n - nty + ( n - 1) t
que se puede arreglar para
- y norte - y - ( norte - 1) ( y - 1) + ( t - 1) (- ny + n - 1) .
Entonces g ( y , 1) tiene 1 como un doble cero y sus otros n - 2 ceros son simples, y se implica una transposición en Gal ( f ( x , s ) / Q ( s )) . Cualquier grupo de permutación finito doblemente transitivo que contenga una transposición es un grupo simétrico completo.
El teorema de irreductibilidad de Hilbert implica entonces que un conjunto infinito de números racionales dan especializaciones de f ( x , t ) cuyos grupos de Galois son S n sobre el campo racional. De hecho, este conjunto de números racionales es denso en.
El discriminante de g ( y , t ) es igual a
y este no es en general un cuadrado perfecto.
Grupos alternos
Las soluciones para grupos alternos deben manejarse de manera diferente para grados pares e impares.
Grado impar
Dejar
Bajo esta sustitución, el discriminante de g ( y , t ) es igual a
que es un cuadrado perfecto cuando n es impar.
Incluso grado
Dejar:
Bajo esta sustitución, el discriminante de g ( y , t ) es igual a:
que es un cuadrado perfecto cuando n es par.
Nuevamente, el teorema de irreductibilidad de Hilbert implica la existencia de un número infinito de especializaciones cuyos grupos de Galois son grupos alternos.
Grupos rígidos
Suponga que C 1 ,…, C n son clases de conjugación de un grupo finito G , y A es el conjunto de n -tuplas ( g 1 ,…, g n ) de G tales que g i está en C i y el producto g 1 … g n es trivial. Entonces A se llama rígido si es no vacío, G actúa transitivamente en él por conjugación, y cada elemento de A genera G .
Thompson (1984) mostró que si un grupo finito G tiene un conjunto rígido, a menudo se puede realizar como un grupo de Galois sobre una extensión ciclotómica de los racionales. (Más precisamente, sobre la extensión ciclotómica de los racionales generados por los valores de los caracteres irreductibles de G en las clases de conjugación C i .)
Esto puede usarse para mostrar que muchos grupos finitos simples, incluido el grupo de monstruos , son grupos de Galois de extensiones de los racionales. El grupo de monstruos se genera mediante una tríada de elementos de los órdenes 2 , 3 y 29 . Todas estas tríadas están conjugadas.
El prototipo de rigidez es el grupo simétrico S n , que se genera mediante un ciclo n y una transposición cuyo producto es un ciclo ( n - 1) . La construcción en la sección anterior utilizó estos generadores para establecer un grupo de Galois polinomial.
Una construcción con función modular elíptica
Sea n > 1 cualquier número entero. Un retículo Λ en el plano complejo con una relación de período τ tiene una subred ′ con una relación de período nτ . El último enrejado es uno de un conjunto finito de subredes permutados por el grupo modular PSL (2, Z ) , que se basa en cambios de base para Λ . Sea j la función modular elíptica de Felix Klein . Defina el polinomio φ n como el producto de las diferencias ( X - j (Λ i )) sobre las subredes conjugadas. Como polinomio en X , φ n tiene coeficientes que son polinomios sobreen j ( τ ) .
En las celosías conjugadas, el grupo modular actúa como PGL (2, Z / n Z ) . De ello se deduce que φ n tiene un grupo de Galois isomorfo a PGL (2, Z / n Z ) sobre.
El uso del teorema de irreductibilidad de Hilbert da un conjunto infinito (y denso) de números racionales que especializan φ n en polinomios con el grupo de Galois PGL (2, Z / n Z ) sobre. Los grupos PGL (2, Z / n Z ) incluyen un número infinito de grupos que no se pueden resolver.
Notas
- ^ http://library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf
- ^ Igor R. Shafarevich, El problema de incrustación para dividir extensiones , Dokl. Akad. Nauk SSSR 120 (1958), 1217-1219.
- ^ p. 5 de Jensen et al., 2002
- ^ http://galoisdb.math.upb.de/
- ^ http://galoisdb.math.upb.de/groups?deg=17
- ^ Malle y Matzat (1999), págs. 403-424
Referencias
- Alexander M. Macbeath, Extensiones de los Racionales con Galois Group PGL (2, Z n ) , Bull. London Math. Soc., 1 (1969), 332-338.
- Thompson, John G. (1984), "Algunos grupos finitos que aparecen como Gal L / K, donde K ⊆ Q (μ n )", Journal of Algebra , 89 (2): 437–499, doi : 10.1016 / 0021- 8693 (84) 90228-X , MR 0751155
- Helmut Völklein, Grupos como grupos de Galois, una introducción , Cambridge University Press, 1996.
- Serre, Jean-Pierre (1992). Temas de la teoría de Galois . Notas de investigación en matemáticas. 1 . Jones y Bartlett. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001 .
- Gunter Malle, Heinrich Matzat, Teoría de Galois inversa , Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-62890-8 .
- Gunter Malle, Heinrich Matzat, Teoría de Galois inversa , 2a edición, Springer-Verlag, 2018.
- Alexander Schmidt, Kay Wingberg, Teorema de Safarevic sobre grupos solubles como grupos de Galois ( ver tambiénNeukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0.948,11001)
- Christian U. Jensen, Arne Ledet y Noriko Yui , Polinomios genéricos, Aspectos constructivos del problema de Galois inverso , Cambridge University Press, 2002.