En la lógica de primer orden, el dominio vacío es el conjunto vacío que no tiene miembros. En la lógica tradicional y clásica, los dominios están restringidamente no vacíos para que ciertos teoremas sean válidos. Las interpretaciones con un dominio vacío se muestran como un caso trivial por una convención que se originó al menos en 1927 con Bernays y Schönfinkel (aunque posiblemente antes), pero que a menudo se atribuye a Quine 1951. La convención es asignar a cualquier fórmula que comience con un cuantificador universal el valorar la verdad, mientras que a cualquier fórmula que comience con un cuantificador existencial se le asigna el valor de falsedad. Esto se sigue de la idea de que los enunciados cuantificados existencialmente tienen importancia existencial (es decir, implican la existencia de algo) mientras que los enunciados cuantificados universalmente no. Según se informa, esta interpretación proviene de George Boole a fines del siglo XIX, pero esto es discutible. En la teoría de modelos moderna , se sigue inmediatamente para las condiciones de verdad para oraciones cuantificadas:
En otras palabras, una cuantificación existencial de la fórmula abierta φ es verdadera en un modelo si si hay algún elemento en el dominio (del modelo) que satisface la fórmula; es decir, si ese elemento tiene la propiedad indicada por la fórmula abierta. Una cuantificación universal de una fórmula abierta φ es verdadera en un modelo si cada elemento en el dominio satisface esa fórmula. (Nótese que en el metalenguaje, "todo lo que es tal que X es tal que Y" se interpreta como una generalización universal del condicional material "si algo es tal que X entonces es tal que Y". Además, los cuantificadores se dan sus lecturas objetuales habituales, de modo que un enunciado existencial positivo tiene importancia existencial, mientras que uno universal no lo tiene). Un caso análogo se refiere a la conjunción vacía y la disyunción vacía. Las cláusulas semánticas para, respectivamente, conjunciones y disyunciones están dadas por
- .
Es fácil ver que la conjunción vacía es trivialmente verdadera y la disyunción vacía trivialmente falsa.
Jaskowski 1934, Mostowski 1951, Hailperin 1953, Quine 1954, Leonard 1956 e Hintikka 1959 consideraron por primera vez las lógicas cuyos teoremas son válidos en todos los dominios, incluido el vacío. como lógica libre .