En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría enriquecida generaliza la idea de una categoría reemplazando hom-sets con objetos de una categoría monoidal general . Está motivado por la observación de que, en muchas aplicaciones prácticas, el hom-set a menudo tiene una estructura adicional que debe ser respetada, por ejemplo, la de ser un espacio vectorial de morfismos o un espacio topológico de morfismos. En una categoría enriquecida, el conjunto de morfismos (el hom-set) asociado con cada par de objetos es reemplazado por un objeto.en alguna categoría monoidal fija de "hom-objetos". Para emular la composición (asociativa) de morfismos en una categoría ordinaria, la categoría hom debe tener un medio para componer hom-objetos de una manera asociativa: es decir, debe haber una operación binaria sobre objetos que nos dé al menos la estructura de una categoría monoidal , aunque en algunos contextos la operación también puede necesitar ser conmutativa y quizás también tener un adjunto derecho (es decir, hacer que la categoría sea monoidal simétrica o incluso monoidal cerrada simétrica , respectivamente). [ cita requerida ]
Así pues, la teoría de categorías enriquecida engloba dentro del mismo marco una amplia variedad de estructuras que incluyen
En el caso de que la categoría hom-objeto sea la categoría de conjuntos con el producto cartesiano habitual, las definiciones de categoría enriquecida, functor enriquecido, etc ... se reducen a las definiciones originales de la teoría de categorías ordinarias.
Una categoría enriquecido con HOM-objetos de la categoría monoidal M se dice que es una categoría enriquece respecto de M o una categoría enriquecido en M , o simplemente una categoría M . Debido a la preferencia de Mac Lane por la letra V en referencia a la categoría monoidal, categorías enriquecidos también se refieren a veces generalmente como V-categorías .
Sea ( M , ⊗, I , α , λ , ρ ) una categoría monoidal . Luego, una categoría C enriquecida (alternativamente, en situaciones donde la elección de la categoría monoidal necesita ser explícita, una categoría enriquecida sobre M , o M - categoría ), consiste en
Es decir, el requisito de asociatividad ahora lo asume el asociador de la categoría monoidal M.