En álgebras de operadores , el álgebra de von Neumann envolvente de un álgebra C * es un álgebra de von Neumann que contiene toda la información algebraica de operadores sobre el álgebra C * dada. Esto también se puede llamar álgebra de von Neumann envolvente universal , ya que está dada por una propiedad universal ; y (como siempre con las álgebras de von Neumann) el término W * -álgebra puede usarse en lugar del álgebra de von Neumann .
Definición
Deje A sea un C * álgebra y π T será su representación universal , que actúa en el espacio de Hilbert H T . La imagen de π U , π T ( A ), es un C * -subalgebra de operadores limitado en H U . El álgebra envolvente de von Neumann de A es el cierre de π U ( A ) en la topología de operador débil. A veces se denota por A ′ ′.
Propiedades
La representación universal π U y A ′ ′ satisface la siguiente propiedad universal : para cualquier representación π , existe un único * -omorfismo
que es continuo en la topología de operador débil y la restricción de Φ a π U ( A ) es π .
Como caso particular, se puede considerar el cálculo funcional continuo , cuya extensión única da un cálculo funcional canónico de Borel .
Según el teorema de Sherman-Takeda , el doble dual de un C * -álgebra A , A **, se puede identificar con A ′ ′, como espacios de Banach .
Cada representación de A determina de forma única una proyección central (es decir, una proyección en el centro del álgebra) en A ′ ′; se llama la cubierta central de esa proyección.