En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , el cálculo funcional de Borel es un cálculo funcional (es decir, una asignación de operadores de álgebras conmutativas a funciones definidas en sus espectros ), que tiene un alcance particularmente amplio. [1] [2] Así, por ejemplo, si T es un operador, al aplicar la función de elevación al cuadrado s → s 2 a T se obtiene el operador T 2. Usando el cálculo funcional para clases más grandes de funciones, podemos, por ejemplo, definir rigurosamente la "raíz cuadrada" del operador laplaciano (negativo) --Δ o el exponencial
El 'alcance' aquí significa el tipo de función de un operador que está permitida. El cálculo funcional de Borel es más general que el cálculo funcional continuo y tiene un enfoque diferente del cálculo funcional holomórfico .
Más precisamente, el cálculo funcional de Borel nos permite aplicar una función de Borel arbitraria a un operador autoadjunto , de una manera que generaliza aplicando una función polinomial .
Motivación
Si T es un operador autoadjunto en un espacio de producto interno de dimensión finita H , entonces H tiene una base ortonormal { e 1 , ..., e ℓ } que consta de autovectores de T , es decir
Por tanto, para cualquier entero positivo n ,
Si solo se consideran los polinomios en T , entonces se llega al cálculo funcional holomórfico . ¿Son posibles funciones más generales de T ? Si. Dada una función de Borel h , se puede definir un operador h ( T ) especificando su comportamiento sobre la base:
En general, cualquier operador autoadjunto T es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación; esto significa que para muchos propósitos, T puede considerarse como un operador
actuando sobre L 2 de algún espacio de medida . El dominio de T consta de aquellas funciones para las cuales la expresión anterior está en L 2 . En este caso, se puede definir de forma análoga
Para muchos propósitos técnicos, la formulación anterior es suficientemente buena. Sin embargo, es deseable formular el cálculo funcional de una manera en la que quede claro que no depende de la representación particular de T como operador de multiplicación. Esto lo hacemos en la siguiente sección.
El cálculo funcional acotado
Formalmente, el cálculo funcional de Borel acotado de un operador autoadjunto T en el espacio de Hilbert H es un mapeo definido en el espacio de funciones de Borel acotadas de valor complejo f en la línea real,
de modo que se cumplan las siguientes condiciones
- π T es una involución : Preservar y homomorfismo unidad de preservación del anillo de funciones medibles con valores complejos acotada en R .
- Si ξ es un elemento de H , entonces
- es una medida contablemente aditiva en los conjuntos de Borel de R . En lo anterior fórmula 1 E denota la función de indicador de E . Estas medidas nu ξ se llaman las medidas espectrales de T .
- Si η denota el mapeo z → z en C , entonces:
- Teorema . Cualquier operador T autoadjunto tiene un cálculo funcional de Borel único.
Esto define el cálculo funcional para funciones limitadas aplicadas a operadores autoadjuntos posiblemente ilimitados . Usando el cálculo funcional acotado, se puede probar parte del teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro :
- Teorema . Si A es un operador autoadjunto, entonces
- es un grupo unitario fuertemente continuo de 1 parámetro cuyo generador infinitesimal es iA .
Como aplicación, consideramos la ecuación de Schrödinger , o equivalentemente, la dinámica de un sistema mecánico cuántico. En no relativistas la mecánica cuántica , los hamiltonianos operador H modelos del total de energía observables de un sistema mecánico cuántico S . El grupo unitario generado por iH se corresponde con la evolución temporal de S .
También podemos usar el cálculo funcional de Borel para resolver de manera abstracta algunos problemas lineales de valor inicial , como la ecuación de calor o las ecuaciones de Maxwell.
Existencia de un cálculo funcional
La existencia de un mapeo con las propiedades de un cálculo funcional requiere una prueba. Para el caso de un operador T autoadjunto acotado , la existencia de un cálculo funcional de Borel se puede mostrar de forma elemental de la siguiente manera:
Primero pase del polinomio al cálculo funcional continuo utilizando el teorema de Stone-Weierstrass . El hecho crucial aquí es que, para un operador autoadjunto acotado T y un polinomio p ,
En consecuencia, el mapeo
es una isometría y un homomorfismo densamente definido en el anillo de funciones polinomiales. Extendiéndose por define de continuidad de f ( T ) para una función continua f en el espectro de T . El teorema de Riesz-Markov nos permite pasar de la integración de funciones continuas a medidas espectrales , y este es el cálculo funcional de Borel.
Alternativamente, el cálculo continuo se puede obtener mediante la transformada de Gelfand , en el contexto de álgebras conmutativas de Banach. La extensión a funciones medibles se logra aplicando Riesz-Markov, como se indicó anteriormente. En esta formulación, T puede ser un operador normal .
Dado un operador T , la gama de la continua funcional cálculo h → h ( T ) es la (abeliano) C * -algebra C ( T ) generada por T . El cálculo funcional de Borel tiene un rango más amplio, es decir, el cierre de C ( T ) en la topología del operador débil , un álgebra de von Neumann (todavía abeliana) .
El cálculo funcional general
También podemos definir el cálculo funcional para funciones de Borel h no necesariamente acotadas ; el resultado es un operador que, en general, no está acotado. Usando la multiplicación por un modelo de función f de un operador autoadjunto dado por el teorema espectral, esta es la multiplicación por la composición de h con f .
- Teorema . Deje que T sea un operador autoadjunta en H , h una función de valor real Borel en R . Hay un operador único S tal que
El operador S del teorema anterior se denota h ( T ).
De manera más general, también existe un cálculo funcional de Borel para operadores normales (acotados).
Resolución de la identidad
Sea T un operador autoadjunto. Si E es un subconjunto Borel de R , y 1 E es la función indicadora de E , entonces 1 E ( T ) es una proyección autoadjunta en H . Entonces mapeando
es una medida espectral llamada la resolución de la identidad del operador auto adjunto T . La medida de R con respecto a Ω es el operador de identidad en H . En otras palabras, el operador de identidad se puede expresar como la integral espectral. A veces, el término "resolución de la identidad" también se utiliza para describir esta representación del operador de identidad como una integral espectral.
En el caso de una medida discreta (en particular, cuando H es de dimensión finita), Se puede escribir como
en la notación de Dirac, donde cada es un vector propio normalizado de T . El conjuntoes una base ortonormal de H .
En la literatura de física, usando lo anterior como heurístico, se pasa al caso cuando la medida espectral ya no es discreta y se escribe la resolución de identidad como
y hablar de una "base continua", o "continuum de estados base", Matemáticamente, a menos que se den justificaciones rigurosas, esta expresión es puramente formal.