Una forma bidimensional igual (o forma perfecta) es aquella cuya área es numéricamente igual a su perímetro . [1] Por ejemplo, un triángulo rectángulo con lados 5, 12 y 13 tiene un área y un perímetro que tienen un valor numérico sin unidades de 30.
Un área no puede ser igual a una longitud excepto en relación con una unidad de medida particular. Por ejemplo, si la figura tiene un área de 5 yardas cuadradas y un perímetro de 5 yardas, entonces tiene un área de 45 pies cuadrados (4,2 m 2 ) y un perímetro de 15 pies (ya que 3 pies = 1 yarda y, por lo tanto, 9 pies cuadrados). pies = 1 yarda cuadrada). Además, contrariamente a lo que implica el nombre, cambiar el tamaño mientras se deja la forma intacta cambia una "forma igual" en una forma no igual. Sin embargo, su uso común como trabajo de curso de GCSE ha llevado a que sea un concepto aceptado. Para cualquier forma, existe una forma equivalente similar : si una forma S tiene un perímetro p y un área A , entonces la escala Spor un factor de p/A conduce a una forma uniforme. Alternativamente, uno puede encontrar formas iguales estableciendo y resolviendo una ecuación en la que el área es igual al perímetro. En el caso del cuadrado, por ejemplo, esta ecuación es
Un polígono tangencial es un polígono en el que los lados son todos tangentes a un círculo común. Cada polígono tangencial se puede triangular dibujando bordes desde el centro del círculo hasta los vértices del polígono, formando una colección de triángulos que tienen una altura igual al radio del círculo; de esta descomposición se sigue que el área total de un polígono tangencial es igual a la mitad del perímetro por el radio. Por lo tanto, un polígono tangencial es igual si y solo si su radio interior es dos. Todos los triángulos son tangenciales, por lo que en particular los triángulos iguales son exactamente los triángulos de radio dos. [2] [3]
La combinación de restricciones de que una forma sea uniforme y que sus dimensiones sean números enteros es significativamente más restrictiva que cualquier restricción por sí sola. Por ejemplo, hay infinitas ternas pitagóricas que describen triángulos rectángulos de lados enteros , y hay infinitas triángulos rectángulos iguales con lados no enteros; sin embargo, solo hay dos triángulos rectángulos enteros iguales, con longitudes de lado (5,12,13) y (6,8,10). [4]
Más generalmente, el problema de encontrar todos los triángulos iguales con lados enteros (es decir, triángulos heronianos iguales ) fue considerado por B. Yates en 1858. [5] [6] Como demostraron WA Whitworth y D. Biddle en 1904, hay exactamente tres soluciones, más allá de los triángulos rectángulos ya enumerados, con lados (6,25,29), (7,15,20) y (9,10,17). [7] [8]
Los únicos rectángulos iguales con lados enteros son el cuadrado de 4 × 4 y el rectángulo de 3 × 6. [4] Un rectángulo entero es un tipo especial de poliominó , y más generalmente existen poliominós con igual área y perímetro para cualquier área de entero par mayor o igual a 16. Para áreas más pequeñas, el perímetro de un poliominó debe exceder su área. [9]