Polígono tangencial

Un trapezoide tangencial

En geometría euclidiana , un polígono tangencial , también conocido como polígono circunscrito , es un polígono convexo que contiene un círculo inscrito (también llamado incírculo ). Este es un círculo que es tangente a cada uno de los lados del polígono. El polígono dual de un polígono tangencial es un polígono cíclico , que tiene un círculo circunscrito que pasa por cada uno de sus vértices .

Todos los triángulos son tangenciales, al igual que todos los polígonos regulares con cualquier número de lados. Un grupo bien estudiado de polígonos tangenciales son los cuadriláteros tangenciales , que incluyen rombos y cometas .

Caracterizaciones

Un polígono convexo tiene un círculo si y solo si todas sus bisectrices internas de ángulos son concurrentes . Este punto común es el incentro (el centro del círculo). ^[1]

Existe un polígono tangencial de n lados secuenciales a ₁ , ..., a _n si y solo si el sistema de ecuaciones

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}}$

tiene una solución ( x ₁ , ..., x _n ) en reales positivos . ^[2] Si existe tal solución, entonces x ₁ , ..., x _n son las longitudes tangentes del polígono (las longitudes desde los vértices hasta los puntos donde el círculo es tangente a los lados).

Unicidad y no unicidad

Si el número de lados n es impar, entonces, para cualquier conjunto dado de longitudes laterales que satisfagan el criterio de existencia anterior, solo hay un polígono tangencial. Pero si n es par, hay una infinidad de ellos. ^{[3] : pág. 389} Por ejemplo, en el caso de un cuadrilátero donde todos los lados son iguales, podemos tener un rombo con cualquier valor de los ángulos agudos, y todos los rombos son tangenciales a un círculo.${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$

Inradius

Si los n lados de un polígono tangencial son a ₁ , ..., a _n , el inradio ( radio del círculo) es ^[4]

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}$

donde K es el área del polígono y s es el semiperímetro . (Dado que todos los triángulos son tangenciales, esta fórmula se aplica a todos los triángulos).

Otras propiedades

• Para un polígono tangencial con un número impar de lados, todos los lados son iguales si y solo si todos los ángulos son iguales (por lo que el polígono es regular). Un polígono tangencial con un número par de lados tiene todos los lados iguales si y solo si los ángulos alternos son iguales (es decir, los ángulos A , C , E , ... son iguales y los ángulos B , D , F , ... son iguales). ^[5]
• En un polígono tangencial con un número par de lados, la suma de las longitudes de los lados impares es igual a la suma de las longitudes de los lados pares. ^[2]
• Un polígono tangencial tiene un área más grande que cualquier otro polígono con el mismo perímetro y los mismos ángulos interiores en la misma secuencia. ^{[6] : pág. 862 [7]}
• El centroide de cualquier polígono tangencial, el centroide de sus puntos límite y el centro del círculo inscrito son colineales , con el centroide del polígono entre los demás y dos veces más lejos del incentro que del centroide del límite. ^{[6] : págs. 858–9}

Triángulo tangencial

Si bien todos los triángulos son tangenciales a algún círculo, un triángulo se llama triángulo tangencial de un triángulo de referencia si las tangencias del triángulo tangencial con el círculo también son los vértices del triángulo de referencia.

Cuadrilátero tangencial

Artículo principal: cuadrilátero tangencial

Hexágono tangencial

Diagonales principales concurrentes

• En un hexágono tangencial ABCDEF , las diagonales principales AD , BE y CF son concurrentes según el teorema de Brianchon .

Ver también

• Circumgon

Referencias

1. Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer, Métodos para la geometría euclidiana , Asociación matemática de América, 2010, p. 77.
2. Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium , Springer, 2006, p. 561.
3. Hess, Albrecht (2014), "En un círculo que contiene los incentros de cuadriláteros tangenciales" (PDF) , Forum Geometricorum , 14 : 389-396.
4. Alsina, Claudi y Nelsen, Roger, Iconos de las matemáticas. Una exploración de veinte imágenes clave , Asociación Matemática de América, 2011, p. 125.
5. De Villiers, Michael. "Polígonos circunscritos cíclicos equiangulares y equiláteros", Gaceta Matemática 95, marzo de 2011, 102-107.
6. Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian (diciembre de 2004). "Figuras circunscribiendo círculos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 111 : 853–863. doi : 10.2307 / 4145094 . Consultado el 6 de abril de 2016 .
7. Apostol, Tom (diciembre de 2005). "errata". American Mathematical Monthly . 112 (10): 946. doi : 10.1080 / 00029890.2005.11920274 .