En geometría diferencial , un mapa equiareal (o mapa equi-areal ) es un mapa uniforme de una superficie a otra que conserva las áreas de las figuras.
Si M y N son dos superficies en el espacio euclidiano R 3 , entonces un mapa equi-areal f puede caracterizarse por cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
Un ejemplo de un mapa equiareal, debido a Arquímedes de Siracusa , es la proyección de la esfera unitaria x 2 + y 2 + z 2 = 1 al cilindro unitario x 2 + y 2 = 1 hacia afuera desde su eje común. Una fórmula explícita es
Cada isometría euclidiana del plano euclidiano es equiareal, pero lo contrario no es cierto. De hecho, el mapeo de corte y el mapeo de compresión son contraejemplos de lo contrario.
El mapeo de corte lleva un rectángulo a un paralelogramo de la misma área. Escrito en forma de matriz, un mapeo de corte a lo largo del eje x es
El mapeo de compresión alarga y contrae los lados de un rectángulo de manera recíproca para preservar el área. Escrito en forma de matriz, con λ> 1 el apretón lee