En geometría plana , un mapeo de corte es un mapa lineal que desplaza cada punto en una dirección fija, en una cantidad proporcional a su distancia firmada desde la línea que es paralela a esa dirección y pasa por el origen. [1] Este tipo de mapeo también se llama transformación de corte , transvección o simplemente corte .
Un ejemplo es el mapeo que toma cualquier punto con coordenadas al punto . En este caso, el desplazamiento es horizontal, la línea fija es la-eje, y la distancia firmada es el coordinar. Tenga en cuenta que los puntos en lados opuestos de la línea de referencia se desplazan en direcciones opuestas.
Las asignaciones de corte no deben confundirse con rotaciones . La aplicación de un mapa de corte a un conjunto de puntos del plano cambiará todos los ángulos entre ellos (excepto los ángulos rectos ) y la longitud de cualquier segmento de línea que no sea paralelo a la dirección del desplazamiento. Por lo tanto, generalmente distorsionará la forma de una figura geométrica, por ejemplo, convirtiendo cuadrados en paralelogramos no cuadrados y círculos en elipses . Sin embargo, un corte conserva el área de las figuras geométricas y la alineación y las distancias relativas de los puntos colineales . Un mapeo de corte es la principal diferencia entre los estilos de letras verticales e inclinados (o cursiva) .
La misma definición se usa en geometría tridimensional , excepto que la distancia se mide desde un plano fijo. Una transformación de corte tridimensional conserva el volumen de las figuras sólidas, pero cambia las áreas de las figuras planas (excepto aquellas que son paralelas al desplazamiento). Esta transformación se utiliza para describir el flujo laminar de un fluido entre placas, una que se mueve en un plano superior y paralelo a la primera.
En general -espacio cartesiano dimensional , la distancia se mide desde un hiperplano fijo paralelo a la dirección de desplazamiento. Esta transformación geométrica es una transformación lineal de que conserva el -medida dimensional (hipervolumen) de cualquier conjunto.
Definición
Cizalla horizontal y vertical del plano
En el avión , un cortante horizontal (o cortante paralelo al eje x ) es una función que toma un punto genérico con coordenadas al punto ; dóndees un parámetro fijo, llamado factor de corte .
El efecto de este mapeo es desplazar cada punto horizontalmente en una cantidad proporcional a su coordinar. Cualquier punto por encima del-el eje se desplaza hacia la derecha (aumentando ) Si , y a la izquierda si . Puntos debajo del-el eje se mueve en la dirección opuesta, mientras que los puntos en el eje permanecen fijos.
Líneas rectas paralelas a la -eje permanecen donde están, mientras que todas las demás líneas giran, en varios ángulos, sobre el punto donde cruzan el -eje. Las líneas verticales, en particular, se convierten en líneas oblicuas con pendiente. . Por lo tanto, el factor de cortees la cotangente del ángulopor el cual las líneas verticales se inclinan, llamado ángulo de corte .
Si las coordenadas de un punto se escriben como un vector de columna (una matriz de 2 × 1 ), el mapeo de corte se puede escribir como una multiplicación por una matriz de 2 × 2:
Una cizalla vertical (o cizalla paralela a la-eje) de líneas es similar, excepto que los roles de y se intercambian. Corresponde a multiplicar el vector de coordenadas por la matriz transpuesta :
La cizalla vertical desplaza puntos a la derecha de la -eje hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de . Deja invariantes las líneas verticales, pero inclina todas las demás líneas alrededor del punto donde se encuentran-eje. Las líneas horizontales, en particular, se inclinan por el ángulo de corte. para convertirse en líneas con pendiente .
Mapeos de corte generales
Para un espacio vectorial V y subespacio W , una fijación de cizallamiento W traduce todos los vectores en una dirección paralela a W .
Para ser más precisos, si V es la suma directa de W y W ′ , y escribimos los vectores como
- v = w + w ′
correspondientemente, la fijación por cizallamiento típica W es L donde
- L ( v ) = ( Mw + Mw ′ ) = ( w + Mw ′ )
donde M es un mapeo lineal de W ' en W . Por lo tanto, en términos de matriz de bloques, L se puede representar como
Aplicaciones
William Kingdon Clifford señaló las siguientes aplicaciones del mapeo de corte :
- "Una sucesión de cizallas nos permitirá reducir cualquier figura delimitada por líneas rectas a un triángulo de igual área".
- "... podemos cortar cualquier triángulo en un triángulo rectángulo, y esto no alterará su área. Por lo tanto, el área de cualquier triángulo es la mitad del área del rectángulo en la misma base y con una altura igual a la perpendicular en el base desde el ángulo opuesto ". [2]
La propiedad de preservación del área de un mapeo de corte se puede usar para resultados que involucren área. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras se ha ilustrado con el mapeo de corte [3] , así como el teorema de la media geométrica relacionado .
Un algoritmo de Alan W. Paeth utiliza una secuencia de tres asignaciones de corte (horizontal, vertical y luego horizontal de nuevo) para rotar una imagen digital en un ángulo arbitrario. El algoritmo es muy simple de implementar y muy eficiente, ya que cada paso procesa solo una columna o una fila de píxeles a la vez. [4]
En tipografía , el texto normal transformado por un mapeo de corte da como resultado un tipo oblicuo .
En la relatividad galileana anterior a Einstein , las transformaciones entre marcos de referencia son asignaciones de corte llamadas transformaciones galileanas . Estos también se ven a veces cuando se describen marcos de referencia en movimiento en relación con un marco "preferido", a veces denominado tiempo y espacio absolutos .
Ver también
- Matriz de corte
- Matriz de transformación
Referencias
- ^ Definición según Weisstein, Eric W. Shear de MathWorld - Un recurso web de Wolfram
- ^ William Kingdon Clifford (1885) El sentido común y las ciencias exactas , página 113
- ^ Hohenwarter, M teorema de Pitágoras por mapeo de corte ; hecho con GeoGebra . Arrastra los controles deslizantes para observar las tijeras.
- ^ Alan Paeth (1986), A Fast Algorithm for General Raster Rotation . Proceedings of Graphics Interface '86, páginas 77–81.