Arquímedes

Arquímedes de Siracusa ( / ˌ ɑr k ɪ m i d i z / ; [2] del griego : Ἀρχιμήδης ; dórico griego:  [ar.kʰi.mɛː.dɛːs] ; . C  287  . - c  212  BC ) fue un griego matemático , físico , ingeniero , inventor y astrónomo . [3] Aunque se conocen pocos detalles de su vida, se le considera como uno de los principales científicosen la antigüedad clásica . Considerado el mayor matemático de la historia antigua y uno de los más grandes de todos los tiempos, [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] Arquímedes cálculo y análisis modernos anticipados aplicando el concepto de lo infinitamente pequeño y el método de agotamiento para derivar y probar rigurosamente una serie de teoremas geométricos , [14] [15] que incluyen: el área de un círculo ; el área de la superficie y el volumen de una esfera ; área de una elipse ; el área bajo una parábola ; el volumen de un segmento de un paraboloide de revolución ; el volumen de un segmento de un hiperboloide de revolución ; y el área de una espiral . [16] [17]

Arquímedes de Siracusa
Ἀρχιμήδης
Arquímedes reflexivo de Domenico Fetti (1620)
NacióC.  287  a . C.
Siracusa, Sicilia , Magna Grecia
FallecidoC.  212  a.C. (75 años aproximadamente)
Siracusa, Sicilia, Magna Grecia
Conocido porPrincipio de
Arquímedes Tornillo de Arquímedes
Estática
Hidrostática
Ley de la palanca
Indivisibles
Neuseis construcciones [1]
Carrera científica
CamposMatemáticas
Física
Ingeniería
Astronomía
Mecánica
InfluenciasEudoxo
Euclides
InfluenciadoApolonio de Perga
Héroe
Pappus
Eutocius

Sus otros logros matemáticos incluyen derivar una aproximación precisa de pi ; definir e investigar la espiral que ahora lleva su nombre ; y crear un sistema usando exponenciación para expresar números muy grandes . También fue uno de los primeros en aplicar las matemáticas a los fenómenos físicos , fundando la hidrostática y la estática , incluida una explicación del principio de la palanca . Se le atribuye el diseño de máquinas innovadoras , como su bomba de tornillo , poleas compuestas y máquinas de guerra defensivas para proteger su Syracuse natal de la invasión.

Arquímedes murió durante el asedio de Siracusa , donde fue asesinado por un soldado romano a pesar de las órdenes de que no se le hiciera daño. Cicerón describe la visita a la tumba de Arquímedes, que estaba coronada por una esfera y un cilindro , que Arquímedes había pedido que se colocara en su tumba para representar sus descubrimientos matemáticos.

A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes eran poco conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría lo leyeron y lo citaron, pero la primera compilación completa no se hizo hasta c.  530  d.C. por Isidoro de Mileto en la Constantinopla bizantina , mientras que los comentarios sobre las obras de Arquímedes escritos por Eutocio en el siglo VI d.C. los abrieron a un público más amplio por primera vez. Las relativamente pocas copias de la obra escrita de Arquímedes que sobrevivieron a través de la Edad Media fueron una fuente influyente de ideas para los científicos durante el Renacimiento y nuevamente en el siglo XVII , [18] [19] mientras que el descubrimiento en 1906 de obras previamente desconocidas de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha proporcionado nuevos conocimientos sobre cómo obtuvo resultados matemáticos. [20] [21] [22] [23]

La muerte de Arquímedes (1815) de Thomas Degeorge [24]

Arquímedes nació c. 287 a. C. en la ciudad portuaria de Siracusa , Sicilia , en ese momento una colonia autónoma en Magna Grecia . La fecha de nacimiento se basa en una declaración del historiador griego bizantino John Tzetzes de que Arquímedes vivió durante 75 años antes de su muerte en el 212 a. C. [17] En el Sand-Reckoner , Arquímedes da el nombre de su padre como Fidias, un astrónomo del que no se sabe nada más. [25] Su amigo Heracleides escribió una biografía de Arquímedes, pero esta obra se ha perdido, dejando en la oscuridad los detalles de su vida. Se desconoce, por ejemplo, si alguna vez se casó o tuvo hijos, o si alguna vez visitó Alejandría , Egipto, durante su juventud. [26] De sus obras escritas sobrevivientes, está claro que mantuvo relaciones colegiales con eruditos radicados allí, incluido su amigo Conon de Samos y el bibliotecario jefe Eratóstenes de Cirene . [a]

Las versiones estándar de la vida de Arquímedes fueron escritas mucho después de su muerte por historiadores griegos y romanos. La primera referencia a Arquímedes se encuentra en Las historias de Polibio (c. 200-118 a. C.), escrito unos setenta años después de su muerte. Arroja poca luz sobre Arquímedes como persona y se centra en las máquinas de guerra que se dice que construyó para defender la ciudad de los romanos. [27] Polybius comenta cómo, durante la Segunda Guerra Púnica , Siracusa cambió su lealtad de Roma a Cartago , lo que resultó en una campaña militar para tomar la ciudad bajo el mando de Marcus Claudius Marcellus y Appius Claudius Pulcher , que duró del 213 al 212 a. C. Señala que los romanos subestimaron las defensas de Siracusa y menciona varias máquinas diseñadas por Arquímedes, incluidas catapultas mejoradas, máquinas parecidas a grúas que podían girar en un arco y lanzadores de piedras. Aunque los romanos finalmente capturaron la ciudad, sufrieron pérdidas considerables debido a la inventiva de Arquímedes. [28]

Cicerón descubriendo la tumba de Arquímedes (1805) de Benjamin West

Cicerón (106-43 aC) menciona a Arquímedes en algunas de sus obras. Mientras se desempeñaba como cuestor en Sicilia, Cicerón encontró lo que se presume que era la tumba de Arquímedes cerca de la puerta de Agrigentina en Siracusa, en una condición descuidada y cubierta de arbustos. Cicerón hizo limpiar la tumba y pudo ver la talla y leer algunos de los versos que se habían agregado como inscripción. La tumba llevaba una escultura que ilustra la prueba matemática favorita de Arquímedes , que el volumen y el área de la superficie de la esfera son dos tercios del cilindro, incluidas sus bases. [29] [30] También menciona que Marcelo trajo a Roma dos planetarios construidos por Arquímedes. [31] El historiador romano Livio (59 a. C.-17 d. C.) vuelve a contar la historia de Polibio sobre la captura de Siracusa y el papel de Arquímedes en ella. [27]

Plutarco (45-119 d. C.) escribió en sus Vidas paralelas que Arquímedes estaba relacionado con el rey Hierón II , el gobernante de Siracusa. [32] También proporciona al menos dos relatos sobre cómo murió Arquímedes después de la toma de la ciudad. Según el relato más popular, Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático cuando se capturó la ciudad. Un soldado romano le ordenó que fuera a encontrarse con Marcelo, pero él se negó, diciendo que tenía que terminar de trabajar en el problema. El soldado se enfureció por esto y mató a Arquímedes con su espada. Otra historia tiene a Arquímedes llevando instrumentos matemáticos antes de ser asesinado porque un soldado pensó que eran objetos valiosos. Según los informes, Marcelo estaba enojado por la muerte de Arquímedes, ya que lo consideraba un valioso recurso científico (llamó a Arquímedes "un Briareo geométrico ") y había ordenado que no se le hiciera daño. [33] [34]

Las últimas palabras atribuidas a Arquímedes son "No molestes mis círculos" ( latín , Noli turbare circulos meos ; griego katharevousa , μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε ), una referencia a los círculos en el dibujo matemático que supuestamente estaba estudiando cuando lo perturbaba el Soldado romano. No hay evidencia confiable de que Arquímedes pronunció estas palabras y no aparecen en el relato de Plutarco. Una cita similar se encuentra en la obra de Valerius Maximus (fl. 30 d.C.), quien escribió en Memorable Doings and Sayings ' ... sed protecto manibus puluere' noli 'inquit,' obsecro, istum disturbare ' ("... pero protegiendo el polvo con sus manos, dijo 'Te lo ruego, no molestes esto ' "). [27]

Principio de Arquimedes

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Una barra de metal, colocada en un recipiente con agua en una balanza, desplaza tanta agua como su propio volumen , aumentando la masa del contenido del recipiente y pesando la balanza.

La anécdota más conocida sobre Arquímedes cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto de forma irregular. Según Vitruvio , se había hecho una corona votiva para un templo para el rey Hierón II de Siracusa , que había proporcionado el oro puro para su uso; Se le pidió a Arquímedes que determinara si el orfebre deshonesto había sustituido algo de plata . [35] Arquímedes tuvo que resolver el problema sin dañar la corona, por lo que no pudo fundirla en un cuerpo de forma regular para calcular su densidad .

En el relato de Vitruvio, Arquímedes notó mientras se bañaba que el nivel del agua en la tina aumentaba al entrar, y se dio cuenta de que este efecto podía usarse para determinar el volumen de la corona. Para fines prácticos, el agua es incompresible, [36] por lo que la corona sumergida desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada, se pudo obtener la densidad de la corona. Esta densidad sería menor que la del oro si se hubieran agregado metales más baratos y menos densos. Entonces Arquímedes salió a la calle desnudo, tan emocionado por su descubrimiento que se había olvidado de vestirse, gritando " ¡ Eureka !" ( Griego : "εὕρηκα , heúrēka !, Lit.  '¡Lo encontré [lo]!'). [35] La prueba de la corona se llevó a cabo con éxito, demostrando que efectivamente se había mezclado plata. [37]

La historia de la corona de oro no aparece en ninguna parte de las obras conocidas de Arquímedes. La practicidad del método que describe ha sido cuestionada debido a la extrema precisión que se requeriría al medir el desplazamiento de agua . [38] Es posible que Arquímedes haya buscado una solución que aplicara el principio conocido en hidrostática como principio de Arquímedes , que describe en su tratado Sobre los cuerpos flotantes . Este principio establece que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación igual al peso del fluido que desplaza. [39] Utilizando este principio, habría sido posible comparar la densidad de la corona con la del oro puro equilibrando la corona en una balanza con una muestra de referencia de oro puro del mismo peso y luego sumergiendo el aparato en agua. La diferencia de densidad entre las dos muestras haría que la balanza se inclinara en consecuencia. [40] Galileo Galilei , quien en 1586 inventó una balanza hidrostática para pesar metales en aire y agua inspirada en la obra de Arquímedes, consideró "probable que este método sea el mismo que siguió Arquímedes, ya que, además de ser muy preciso, es basado en demostraciones encontradas por el propio Arquímedes ". [41] [42]

Influencia

En un texto del siglo XII titulado Mappae clavicula hay instrucciones sobre cómo realizar los pesajes en el agua para calcular el porcentaje de plata utilizado y resolver el problema. [43] [44] El poema latino Carmen de ponderibus et mensuris del siglo IV o V describe el uso de un equilibrio hidrostático para resolver el problema de la corona y atribuye el método a Arquímedes. [43]

tornillo de Arquímedes

El tornillo de Arquímedes puede elevar el agua de manera eficiente.

Una gran parte del trabajo de Arquímedes en ingeniería probablemente surgió de satisfacer las necesidades de su ciudad natal de Siracusa . El escritor griego Ateneo de Naucratis describió cómo el rey Hierón II encargó a Arquímedes que diseñara un enorme barco, el Siracusia , que podría usarse para viajes de lujo, transporte de suministros y como buque de guerra naval . Se dice que el Syracusia fue el barco más grande construido en la antigüedad clásica . [45] Según Ateneo, era capaz de transportar a 600 personas e incluía decoraciones de jardín, un gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita entre sus instalaciones. Dado que un barco de este tamaño filtraría una cantidad considerable de agua a través del casco, el tornillo de Arquímedes se desarrolló supuestamente para eliminar el agua de sentina. La máquina de Arquímedes era un dispositivo con una hoja giratoria en forma de tornillo dentro de un cilindro. Se giraba a mano y también se podía usar para transferir agua de una masa de agua baja a canales de riego. El tornillo de Arquímedes todavía se usa hoy para bombear líquidos y sólidos granulados como carbón y granos. El tornillo de Arquímedes descrito en la época romana por Vitruvio puede haber sido una mejora en una bomba de tornillo que se utilizó para regar los Jardines Colgantes de Babilonia . [46] [47] El primer barco de vapor de alta mar del mundo con una hélice de tornillo fue el SS Archimedes , que fue botado en 1839 y nombrado en honor a Arquímedes y su trabajo en el tornillo. [48]

Garra de Arquímedes

La Garra de Arquímedes es un arma que se dice que diseñó para defender la ciudad de Siracusa. También conocida como "el agitador de barcos", la garra consistía en un brazo parecido a una grúa del que se suspendía un gran gancho de agarre de metal . Cuando la garra caía sobre un barco atacante, el brazo se balanceaba hacia arriba, levantando el barco fuera del agua y posiblemente hundiéndolo. Ha habido experimentos modernos para probar la viabilidad de la garra, y en 2005 un documental de televisión titulado Superweapons of the Ancient World construyó una versión de la garra y concluyó que era un dispositivo viable. [49] [50]

Rayo de calor

Arquímedes pudo haber usado espejos que actuaban colectivamente como un reflector parabólico para quemar barcos que atacaban Siracusa .
Interpretación artística del espejo de Arquímedes utilizado para quemar barcos romanos. Pintura de Giulio Parigi , c. 1599

Arquímedes pudo haber usado espejos que actuaban colectivamente como un reflector parabólico para quemar barcos que atacaban Siracusa. El autor Lucian, del siglo II d. C., escribió que durante el asedio de Siracusa (c. 214-212 a. C.), Arquímedes destruyó los barcos enemigos con fuego. Siglos más tarde, Antemio de Tralles menciona los vasos ardientes como el arma de Arquímedes. [51] El dispositivo, a veces llamado "rayo de calor de Arquímedes", se usó para enfocar la luz solar en los barcos que se acercaban, provocando que se incendiaran. En la era moderna, se han construido dispositivos similares y pueden denominarse helióstatos u hornos solares . [52]

Esta supuesta arma ha sido objeto de un debate continuo sobre su credibilidad desde el Renacimiento . René Descartes lo rechazó como falso, mientras que los investigadores modernos han intentado recrear el efecto utilizando solo los medios que hubieran estado disponibles para Arquímedes. [53] Se ha sugerido que se podría haber empleado una gran variedad de escudos de bronce o cobre altamente pulidos que actúan como espejos para enfocar la luz solar en un barco.

Pruebas modernas

En 1973, el científico griego Ioannis Sakkas llevó a cabo una prueba del rayo de calor de Arquímedes. El experimento tuvo lugar en la base naval de Skaramagas en las afueras de Atenas . En esta ocasión se utilizaron 70 espejos, cada uno con un revestimiento de cobre y un tamaño de alrededor de 5 por 3 pies (1,52 m × 0,91 m). Los espejos apuntaban a una maqueta de madera contrachapada de un buque de guerra romano a una distancia de unos 49 metros (160 pies). Cuando los espejos se enfocaron con precisión, la nave estalló en llamas en unos pocos segundos. El barco de madera contrachapada tenía una capa de pintura de alquitrán , que puede haber ayudado a la combustión. [54] Una capa de alquitrán habría sido común en los barcos en la era clásica. [B]

En octubre de 2005, un grupo de estudiantes del Instituto de Tecnología de Massachusetts llevó a cabo un experimento con 127 baldosas de espejo cuadradas de 30 cm (un pie), centradas en una maqueta de un barco de madera a una distancia de unos 30 m (100 pies). Las llamas estallaron en una parte del barco, pero solo después de que el cielo estuvo despejado y el barco permaneció inmóvil durante unos diez minutos. Se concluyó que el dispositivo era un arma viable en estas condiciones. El grupo del MIT repitió el experimento para el programa de televisión MythBusters , utilizando un barco pesquero de madera en San Francisco como objetivo. Nuevamente ocurrió algo de carbonización, junto con una pequeña cantidad de llama. Para prenderse fuego, la madera necesita alcanzar su temperatura de autoignición , que es de alrededor de 300 ° C (572 ° F). [55] [56]

Cuando MythBusters transmitió el resultado del experimento de San Francisco en enero de 2006, el reclamo se colocó en la categoría de "fracasado" (es decir, fallido) debido al tiempo y las condiciones climáticas ideales requeridas para que ocurra la combustión. También se señaló que, dado que Siracusa mira al mar hacia el este, la flota romana habría tenido que atacar durante la mañana para que los espejos captaran la luz de manera óptima. MythBusters también señaló que el armamento convencional, como flechas en llamas o pernos de una catapulta, habría sido una forma mucho más fácil de prender fuego a un barco a distancias cortas. [57]

En diciembre de 2010, MythBusters volvió a analizar la historia del rayo de calor en una edición especial titulada " El desafío del presidente ". Se llevaron a cabo varios experimentos, incluida una prueba a gran escala con 500 escolares apuntando espejos a una maqueta de un velero romano a 120 m (400 pies) de distancia. En todos los experimentos, la vela no alcanzó los 210 ° C (410 ° F) requeridos para incendiarse, y el veredicto fue nuevamente "roto". El programa concluyó que un efecto más probable de los espejos habría cegado, deslumbrado o distraído a la tripulación del barco. [58]

Palanca

Si bien Arquímedes no inventó la palanca , dio una explicación del principio involucrado en su trabajo Sobre el equilibrio de los planos . [59] Las descripciones anteriores de la palanca se encuentran en la escuela peripatética de los seguidores de Aristóteles , ya veces se atribuyen a Arquitas . [60] [61] Según Pappus de Alejandría , el trabajo de Arquímedes en las palancas lo llevó a comentar: "Dame un lugar para pararme, y moveré la Tierra" (en griego : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ) . [62] Plutarch describe cómo Archimedes diseñó sistemas de poleas de aparejos y poleas , permitiendo a los marineros usar el principio de palanca para levantar objetos que de otra manera habrían sido demasiado pesados ​​para mover. [63] A Arquímedes también se le atribuye el mérito de haber mejorado el poder y la precisión de la catapulta , y de haber inventado el odómetro durante la Primera Guerra Púnica . El odómetro se describió como un carro con un mecanismo de engranajes que dejaba caer una bola en un contenedor después de cada milla recorrida. [64]

Instrumentos astronómicos

Arquímedes analiza las medidas astronómicas de la Tierra, el Sol y la Luna, así como el modelo heliocéntrico del universo de Aristarco , en el contador de arena . A pesar de la falta de trigonometría y una tabla de acordes, Arquímedes describe el procedimiento y el instrumento utilizado para hacer observaciones (una varilla recta con clavijas o ranuras), [65] [66] aplica factores de corrección a estas medidas y finalmente da el resultado en la forma de los límites superior e inferior para tener en cuenta el error de observación. [25] Ptolomeo , citando a Hiparco, también hace referencia a las observaciones del solsticio de Arquímedes en el Almagesto . Esto convertiría a Arquímedes en el primer griego conocido que registró múltiples fechas y horas de solsticio en años sucesivos. [26]

Cicerón (106-43 a. C.) menciona brevemente a Arquímedes en su diálogo , De re publica , que retrata una conversación ficticia que tiene lugar en el año 129 a. C. Después de la captura de Siracusa c. 212 a. C., se dice que el general Marco Claudio Marcelo llevó a Roma dos mecanismos, construidos por Arquímedes y utilizados como ayudas en astronomía, que mostraban el movimiento del Sol, la Luna y cinco planetas. Cicerón menciona mecanismos similares diseñados por Tales de Mileto y Eudoxo de Cnidus . El diálogo dice que Marcelo se quedó con uno de los dispositivos como su único botín personal de Siracusa y donó el otro al Templo de la Virtud en Roma. El mecanismo de Marcelo fue demostrado, según Cicerón, por Gaius Sulpicius Gallus a Lucius Furius Philus , quien lo describió así: [67] [68]

Esta es una descripción de un planetario o planetario . Pappus de Alejandría declaró que Arquímedes había escrito un manuscrito (ahora perdido) sobre la construcción de estos mecanismos titulado Sobre la creación de esferas . [31] [69] La investigación moderna en esta área se ha centrado en el mecanismo de Antikythera , otro dispositivo construido c.  100  aC que probablemente fue diseñado con el mismo propósito. [70] La construcción de mecanismos de este tipo habría requerido un conocimiento sofisticado de engranajes diferenciales . [71] Alguna vez se pensó que esto estaba más allá del alcance de la tecnología disponible en la antigüedad, pero el descubrimiento del mecanismo de Antikythera en 1902 ha confirmado que los dispositivos de este tipo eran conocidos por los antiguos griegos. [72] [73]

Arquímedes usó el teorema de Pitágoras para calcular el lado del 12-gon desde el del hexágono y para cada duplicación subsiguiente de los lados del polígono regular.

Si bien a menudo se lo considera un diseñador de dispositivos mecánicos, Arquímedes también hizo contribuciones al campo de las matemáticas. Plutarco escribió que Arquímedes "puso todo su afecto y ambición en esas especulaciones más puras donde no puede haber ninguna referencia a las necesidades vulgares de la vida", [33] aunque algunos eruditos creen que esto puede ser una caracterización errónea. [74] [75] [76]

Método de agotamiento

Arquímedes pudo usar indivisibles (una forma temprana de infinitesimales ) de una manera similar al cálculo integral moderno . [14] A través de la prueba por contradicción ( reductio ad absurdum ), podía dar respuestas a problemas con un grado arbitrario de precisión, al tiempo que especificaba los límites dentro de los cuales se encontraba la respuesta. Esta técnica se conoce como el método de agotamiento , y la empleó para aproximar las áreas de las cifras y el valor de π .

En Medición de un círculo , hizo esto dibujando un hexágono regular más grande fuera de un círculo, luego un hexágono regular más pequeño dentro del círculo, y doblando progresivamente el número de lados de cada polígono regular , calculando la longitud de un lado de cada polígono en cada uno. paso. A medida que aumenta el número de lados, se convierte en una aproximación más precisa de un círculo. Después de cuatro de estos pasos, cuando los polígonos tenían 96 lados cada uno, pudo determinar que el valor de π estaba entre 31/7 (aprox. 3.1429) y 3 10/71(aprox. 3.1408), consistente con su valor real de aproximadamente 3.1416. [77]

Propiedad de Arquímedes

También demostró que el área de un círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo (). En Sobre la esfera y el cilindro , Arquímedes postula que cualquier magnitud cuando se agrega a sí misma suficientes veces excederá cualquier magnitud dada. Hoy esto se conoce como la propiedad de Arquímedes de los números reales. [78]

Como lo demostró Arquímedes, el área del segmento parabólico en la figura superior es igual a 4/3 del triángulo inscrito en la figura inferior.

En Medición de un círculo , Arquímedes da el valor de la raíz cuadrada de 3 que se encuentra entre 265/153 (aproximadamente 1,7320261) y 1351/780(aproximadamente 1,7320512). El valor real es aproximadamente 1,7320508, lo que lo convierte en una estimación muy precisa. Introdujo este resultado sin ofrecer ninguna explicación de cómo lo había obtenido. Este aspecto de la obra de Arquímedes hizo que John Wallis comentara que él era: "por así decirlo, haber encubierto las huellas de su investigación como si hubiera renegado a la posteridad el secreto de su método de investigación mientras deseaba extorsionar de ellos asentir a sus resultados. " [79] Es posible que haya utilizado un procedimiento iterativo para calcular estos valores. [80] [81]

La serie infinita

En La cuadratura de la parábola , Arquímedes demostró que el área encerrada por una parábola y una línea recta es 4/3multiplicado por el área de un triángulo inscrito correspondiente como se muestra en la figura de la derecha. Expresó la solución al problema como una serie geométrica infinita con la razón común1/4:

Si el primer término de esta serie es el área del triángulo, entonces el segundo es la suma de las áreas de dos triángulos cuyas bases son las dos líneas secantes más pequeñas , y así sucesivamente. Esta demostración usa una variación de la serie 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · que suma a 1/3.

Miríada de miríadas

En The Sand Reckoner , Arquímedes se propuso calcular la cantidad de granos de arena que podría contener el universo. Al hacerlo, desafió la noción de que el número de granos de arena era demasiado grande para ser contado. El escribio:

Hay algunos, el rey Gelo (Gelo II, hijo de Hiero II), que piensan que el número de la arena es infinito en multitud; y por arena me refiero no sólo a lo que existe sobre Siracusa y el resto de Sicilia, sino también a lo que se encuentra en todas las regiones, ya sean habitadas o deshabitadas.

Para resolver el problema, Arquímedes ideó un sistema de conteo basado en la miríada . La palabra en sí deriva del griego μυριάς , murias , para el número 10,000. Propuso un sistema numérico usando poderes de una miríada de miríadas (100 millones, es decir, 10,000 x 10,000) y concluyó que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo sería de 8 vigintillones , u 8 × 10 63 . [82]

Edición de 1615 de las obras de Arquímedes, titulada Obras completas de Arquímedes en griego y Obras supervivientes de Arquímedes en latín.

Las obras de Arquímedes se escribieron en griego dórico , el dialecto de la antigua Siracusa. [83] La obra escrita de Arquímedes no ha sobrevivido tan bien como la de Euclides , y se sabe que siete de sus tratados existieron solo a través de referencias hechas a ellos por otros autores. Pappus de Alejandría menciona On Sphere-Making y otro trabajo sobre poliedros , mientras que Theon de Alejandría cita un comentario sobre la refracción de la ahora perdida Catóptrica . [c] Durante su vida, Arquímedes dio a conocer su trabajo a través de la correspondencia con los matemáticos de Alejandría . Los escritos de Arquímedes fueron recopilados por primera vez por el arquitecto griego bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 d.C.), mientras que los comentarios sobre las obras de Arquímedes escritos por Eutocio en el siglo VI d.C. ayudaron a llevar su obra a una audiencia más amplia. La obra de Arquímedes fue traducida al árabe por Thābit ibn Qurra (836–901 d. C.), y al latín por Gerardo de Cremona (c. 1114-1187 d. C.) y Guillermo de Moerbeke (c. 1215-1286 d. C.). [84] [85] Durante el Renacimiento , la Editio princeps (primera edición) fue publicada en Basilea en 1544 por Johann Herwagen con las obras de Arquímedes en griego y latín. [86]

Trabajos sobrevivientes

Sobre el equilibrio de los planos

Sobre el equilibrio de los planos hay dos volúmenes : el primero contiene siete postulados y quince proposiciones , mientras que el segundo libro contiene diez proposiciones. En la primera obra, Arquímedes demuestra la Ley de la palanca , que establece que "las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos".

Arquímedes utiliza los principios derivados para calcular las áreas y centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluidos triángulos , paralelogramos y parábolas . [87]

Medida de un círculo

Este es un trabajo breve que consta de tres proposiciones. Está escrito en forma de correspondencia con Dositeo de Pelusio, que fue alumno de Conón de Samos . En la Proposición II, Arquímedes da una aproximación del valor de pi ( π ), mostrando que es mayor que 223/71 y menos de 22/7.

En espirales

Esta obra de 28 proposiciones también está dirigida a Dositeo. El tratado define lo que ahora se llama la espiral de Arquímedes . Es el lugar geométrico de los puntos correspondientes a las ubicaciones en el tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con una velocidad constante a lo largo de una línea que gira con velocidad angular constante . De manera equivalente, en coordenadas polares ( r , θ ) se puede describir mediante la ecuacióncon los números reales a y b .

Este es un ejemplo temprano de una curva mecánica (una curva trazada por un punto en movimiento ) considerada por un matemático griego.

En la esfera y el cilindro

Una esfera tiene 2/3 del volumen y el área de la superficie de su cilindro que la circunscribe, incluidas sus bases. Una esfera y un cilindro se colocaron en la tumba de Arquímedes a petición suya. (ver también: mapa Equiareal )

En este tratado de dos volúmenes dirigido a Dositeo, Arquímedes obtiene el resultado del que estaba más orgulloso, a saber, la relación entre una esfera y un cilindro circunscrito de la misma altura y diámetro . El volumen es 4/3π r 3 para la esfera y 2 π r 3 para el cilindro. El área de la superficie es 4 π r 2 para la esfera y 6 π r 2 para el cilindro (incluidas sus dos bases), donde r es el radio de la esfera y el cilindro. La esfera tiene un volumen de dos tercios del del cilindro circunscrito. Del mismo modo, la esfera tiene un área de dos tercios que la del cilindro (incluidas las bases). Una esfera y un cilindro esculpidos se colocaron en la tumba de Arquímedes a petición suya.

Sobre conoides y esferoides

Este es un trabajo en 32 proposiciones dirigidas a Dositeo. En este tratado, Arquímedes calcula las áreas y volúmenes de secciones de conos , esferas y paraboloides.

Sobre cuerpos flotantes

En la primera parte de este tratado de dos volúmenes, Arquímedes explica la ley del equilibrio de los fluidos y demuestra que el agua adoptará una forma esférica alrededor de un centro de gravedad. Esto puede haber sido un intento de explicar la teoría de los astrónomos griegos contemporáneos como Eratóstenes de que la Tierra es redonda. Los fluidos descritos por Arquímedes no son autogravitantes , ya que asume la existencia de un punto hacia el cual caen todas las cosas para derivar la forma esférica.

En la segunda parte, calcula las posiciones de equilibrio de secciones de paraboloides. Probablemente se trataba de una idealización de las formas de los cascos de los barcos. Algunas de sus secciones flotan con la base debajo del agua y la cima sobre el agua, de manera similar a como flotan los icebergs. El principio de flotabilidad de Arquímedes se da en el trabajo, expresado de la siguiente manera:

Cualquier cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual, pero opuesto en sentido, al peso del fluido desplazado.

La cuadratura de la parábola

En este trabajo de 24 proposiciones dirigidas a Dositeo, Arquímedes demuestra por dos métodos que el área encerrada por una parábola y una línea recta es 4/3 multiplicada por el área de un triángulo de igual base y altura. Lo logra calculando el valor de una serie geométrica que suma al infinito con la razón1/4.

Ostomachion es un rompecabezas de disección en el Palimpsesto de Arquímedes .

Ostomachion

También conocido como Lóculo de Arquímedes o Caja de Arquímedes , [88] este es un rompecabezas de disección similar a un Tangram , y el tratado que lo describe se encontró en forma más completa en el Palimpsesto de Arquímedes . Arquímedes calcula las áreas de las 14 piezas que se pueden ensamblar para formar un cuadrado . La investigación publicada por el Dr. Reviel Netz de la Universidad de Stanford en 2003 argumentó que Arquímedes estaba tratando de determinar de cuántas formas se podrían ensamblar las piezas en la forma de un cuadrado. El Dr. Netz calcula que las piezas se pueden convertir en un cuadrado de 17152 formas. [89] El número de disposiciones es 536 cuando se excluyen las soluciones equivalentes por rotación y reflexión. [90] El rompecabezas representa un ejemplo de un problema temprano en combinatoria .

El origen del nombre del rompecabezas no está claro, y se ha sugerido que se toma de la palabra griega antigua para ' garganta ' o ' esófago ', estómago ( στόμαχος ). [91] Ausonio se refiere al rompecabezas como Ostomachion , una palabra compuesta griega formada a partir de las raíces de osteon ( ὀστέον , 'hueso') y machē ( μάχη , 'lucha'). [88]

El problema del ganado

Esta obra fue descubierta por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego que consta de un poema de 44 líneas, en la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel , Alemania en 1773. Está dirigida a Eratóstenes y los matemáticos de Alejandría. Arquímedes los desafía a contar la cantidad de ganado en la Manada del Sol resolviendo una serie de ecuaciones diofánticas simultáneas . Hay una versión más difícil del problema en la que se requiere que algunas de las respuestas sean números cuadrados . Esta versión del problema fue resuelta por primera vez por A. Amthor [92] en 1880, y la respuesta es un número muy grande , aproximadamente 7,760271 × 10 206 544 . [93]

El contador de arena

En este tratado, también conocido como Psammitas , Arquímedes cuenta la cantidad de granos de arena que caben dentro del universo. Este libro menciona la teoría heliocéntrica del sistema solar propuesta por Aristarco de Samos , así como ideas contemporáneas sobre el tamaño de la Tierra y la distancia entre varios cuerpos celestes . Al usar un sistema de números basado en potencias de miríadas , Arquímedes concluye que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo es 8 × 10 63 en notación moderna. La carta de presentación dice que el padre de Arquímedes era un astrónomo llamado Fidias. The Sand Reckoner es la única obra que se conserva en la que Arquímedes analiza sus puntos de vista sobre la astronomía. [94]

El método de los teoremas mecánicos

Este tratado se pensó perdido hasta el descubrimiento del Palimpsesto de Arquímedes en 1906. En esta obra, Arquímedes usa infinitesimales y muestra cómo dividir una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas puede usarse para determinar su área o volumen. Arquímedes pudo haber considerado que este método carecía de rigor formal, por lo que también utilizó el método del agotamiento para derivar los resultados. Al igual que con El problema del ganado , El método de los teoremas mecánicos se escribió en forma de carta a Eratóstenes en Alejandría .

Obras apócrifas

El Libro de Lemas de Arquímedes o Liber Assumptorum es un tratado con quince proposiciones sobre la naturaleza de los círculos. La copia más antigua conocida del texto está en árabe . Los eruditos TL Heath y Marshall Clagett argumentaron que no puede haber sido escrito por Arquímedes en su forma actual, ya que cita a Arquímedes, sugiriendo modificación por otro autor. Los Lemas pueden estar basados ​​en un trabajo anterior de Arquímedes que ahora se perdió. [95]

También se ha afirmado que Arquímedes conocía la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo a partir de la longitud de sus lados. [d] La primera referencia confiable a la fórmula la da Garza de Alejandría en el siglo I d. C. [96]

Palimpsesto de Arquímedes

En 1906, El Palimpsesto de Arquímedes reveló obras de Arquímedes que se creían perdidas.

El documento más importante que contiene la obra de Arquímedes es el Palimpsesto de Arquímedes. En 1906, el profesor danés Johan Ludvig Heiberg visitó Constantinopla y examinó un pergamino de 174 páginas de piel de cabra con oraciones escritas en el siglo XIII d.C. Descubrió que se trataba de un palimpsesto , un documento con texto escrito sobre una obra antigua borrada. Los palimpsestos se crearon raspando la tinta de las obras existentes y reutilizándolas, lo cual era una práctica común en la Edad Media, ya que la vitela era cara. Los estudiosos identificaron las obras más antiguas del palimpsesto como copias del siglo X d.C. de tratados previamente desconocidos de Arquímedes. [97] El pergamino pasó cientos de años en la biblioteca de un monasterio en Constantinopla antes de ser vendido a un coleccionista privado en la década de 1920. El 29 de octubre de 1998, se vendió en una subasta a un comprador anónimo por 2 millones de dólares en Christie's en Nueva York . [98]

El palimpsesto contiene siete tratados, incluida la única copia sobreviviente de Sobre los cuerpos flotantes en el griego original. Es la única fuente conocida de El método de los teoremas mecánicos , al que se refiere Suidas y se cree que se perdió para siempre. Stomachion también se descubrió en el palimpsesto, con un análisis del rompecabezas más completo que el que se había encontrado en textos anteriores. El palimpsesto se almacena ahora en el Museo de Arte Walters en Baltimore , Maryland , donde ha sido sometido a una serie de pruebas modernas, como el uso de luz ultravioleta y de rayos x de luz para leer el texto sobrescrito. [99]

Los tratados del Palimpsesto de Arquímedes incluyen:

  • Sobre el equilibrio de los planos
  • En espirales
  • Medida de un círculo
  • En la esfera y el cilindro
  • Sobre cuerpos flotantes
  • El método de los teoremas mecánicos
  • Stomachion
  • Discursos del político del siglo IV a.C. Hypereides
  • Un comentario sobre Aristóteles 's Categorías
  • Otros trabajos

La medalla Fields lleva un retrato de Arquímedes.
Estatua de bronce de Arquímedes en Berlín .
  • Galileo elogió a Arquímedes muchas veces y se refirió a él como un "sobrehumano" y como "su maestro". [100] [101] Leibniz dijo: "El que entienda a Arquímedes y Apolonio admirará menos los logros de los hombres más destacados de tiempos posteriores". [102]
  • Hay un cráter en la Luna llamado Arquímedes (29 ° 42'N 4 ° 00'W / 29,7 ° N 4,0 ° W / 29,7; -4,0) en su honor, así como una cordillera lunar , los Montes Arquímedes ( 25 ° 18'N 4 ° 36'W / 25,3 ° N 4,6 ° W / 25,3; -4,6). [103]
  • La Medalla Fields por logros sobresalientes en matemáticas lleva un retrato de Arquímedes, junto con una talla que ilustra su prueba en la esfera y el cilindro. La inscripción alrededor de la cabeza de Arquímedes es una cita atribuida al poeta Manilius del siglo I d.C. , que dice en latín: Transire suum pectus mundoque potiri ("Levántate por encima de uno mismo y capta el mundo"). [104] [105] [106]
  • Arquímedes ha aparecido en sellos postales emitidos por Alemania Oriental (1973), Grecia (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) y España (1963). [107]
  • ¡La exclamación de Eureka! atribuido a Arquímedes es el lema del estado de California . En este caso, la palabra se refiere al descubrimiento de oro cerca de Sutter's Mill en 1848 que provocó la fiebre del oro de California . [108]
  • Leonardo da Vinci expresó repetidamente su admiración por Arquímedes y atribuyó su invento Architonnerre a Arquímedes. [109] [110] [111]

  • Arbelos
  • Punto de Arquímedes
  • El axioma de Arquímedes
  • Número de Arquímedes
  • Paradoja de Arquímedes
  • Sólido de Arquímedes
  • Los círculos gemelos de Arquímedes
  • Diocles
  • Lista de cosas que llevan el nombre de Arquímedes
  • Métodos para calcular raíces cuadradas
  • Pseudo-Arquímedes
  • Salinon
  • Cañón de vapor
  • Trasmallo de Arquímedes
  • Zhang Heng

Notas

  1. ↑ En el prefacio de Sobre espirales dirigido a Dositeo de Pelusio, Arquímedes dice que "han pasado muchos años desde la muerte de Conon". Conon de Samos vivió c. 280-220 a. C., lo que sugiere que Arquímedes pudo haber sido un hombre mayor cuando escribió algunas de sus obras.
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  3. ↑ Los tratados de Arquímedes que se sabe existen solo a través de referencias en las obras de otros autores son: On Sphere-Making y un trabajo sobre poliedros mencionado por Pappus de Alejandría ; Catoptrica , una obra sobre óptica mencionada por Theon de Alejandría ; Principios , dirigido a Zeuxippus y explicando el sistema numérico utilizado en The Sand Reckoner ; En balanzas y palancas ; Sobre los centros de gravedad ; En el calendario . De las obras supervivientes de Arquímedes, TL Heath ofrece la siguiente sugerencia en cuanto al orden en que fueron escritas: Sobre el equilibrio de los planos I , La cuadratura de la parábola , Sobre el equilibrio de los planos II , Sobre la esfera y el cilindro I , II , Sobre espirales , Sobre conoides y esferoides , Sobre cuerpos flotantes I, II , Sobre la medida de un círculo , El contador de arena .
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Citas

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  • Heiberg's Edition of Archimedes. Texts in Classical Greek, with some in English.
  • The Method of Mechanical Theorems, translated by L.G. Robinson
  • Archimedes at the Encyclopædia Britannica
  • Archimedes on In Our Time at the BBC
  • Works by Archimedes at Project Gutenberg
  • Works by or about Archimedes at Internet Archive
  • Archimedes at the Indiana Philosophy Ontology Project
  • Archimedes at PhilPapers
  • The Archimedes Palimpsest project at The Walters Art Museum in Baltimore, Maryland
  • "Archimedes and the Square Root of 3". MathPages.com.
  • "Archimedes on Spheres and Cylinders". MathPages.com.
  • Photograph of the Sakkas experiment in 1973
  • Testing the Archimedes steam cannon
  • Stamps of Archimedes
  • Archimedes Palimpsest reveals insights centuries ahead of its time