En la geometría euclidiana , la equipollencia es una relación binaria entre segmentos de línea dirigidos . Un segmento de línea AB desde el punto A al punto B tiene la dirección opuesta al segmento de línea BA . Dos segmentos de línea dirigidos son equipollentes cuando tienen la misma longitud y dirección.
Historia
Descripción general
Giusto Bellavitis propuso el concepto de segmentos de línea equipolientes en 1835. Posteriormente, se adoptó el término vector para una clase de segmentos de línea equipolientes. El uso de Bellavitis de la idea de una relación para comparar objetos diferentes pero similares se ha convertido en una técnica matemática común, particularmente en el uso de relaciones de equivalencia . Bellavitis utilizó una notación especial para la equipollencia de los segmentos AB y CD :
Los siguientes pasajes, traducidos por Michael J. Crowe, muestran la anticipación que Bellavitis tenía de los conceptos vectoriales :
- Las equipollencias se mantienen cuando se sustituyen las líneas en ellas por otras líneas que son respectivamente equipollentes a ellas, sin embargo pueden estar situadas en el espacio. A partir de esto se puede entender cómo puede ser cualquier número y cualquier tipo de líneas sumadas , y que en el orden que se toman estas líneas, se obtendrá el mismo equiparada-sum ...
- En las equipollencias, al igual que en las ecuaciones, se puede trasladar una línea de un lado a otro, siempre que se cambie el signo ...
Por lo tanto, los segmentos dirigidos de manera opuesta son negativos entre sí:
- La equipollencia donde n representa un número positivo, indica que AB es paralelo ay tiene la misma dirección que CD , y que sus longitudes tienen la relación expresada por AB = n . CD . [1]
El segmento de A a B es un vector ligado , mientras que la clase de segmentos equivalentes a él es un vector libre , en el lenguaje de los vectores euclidianos .
Ejemplos de
Entre las aplicaciones históricas de las equipollencias de Bellavitis y otros, se discutirán los diámetros conjugados de elipses y las hipérbolas:
a) Diámetro conjugado de elipses
Bellavitis (1854) [2] definió la equipollencia OM de una elipse y la respectiva tangente MT como
- (1a)
donde OA y OB son semi-diámetros conjugados de la elipse, ambos relacionados con otros dos semi-diámetros conjugados OC y OD por la siguiente relación y su inversa:
produciendo el invariante
- .
Sustituyendo lo inverso en (1a), mostró que OM conserva su forma
b) Diámetro conjugado de hipérbolas
En la traducción francesa del artículo de Bellavitis de 1854, Charles-Ange Laisant (1874) añadió un capítulo en el que adaptó el análisis anterior a la hipérbola . La equipollencia OM y su tangente MT de una hipérbola se define por [3]
- (1b)
Aquí, OA y OB son semidiámetros conjugados de una hipérbola con OB siendo imaginario, los cuales se relacionan con otros dos semidiámetros conjugados OC y OD por la siguiente transformación y su inversa:
produciendo la relación invariante
- .
Sustituyendo en (1b), mostró que OM conserva su forma
Desde una perspectiva moderna, la transformación de Laisant entre dos pares de semidiámetros conjugados puede interpretarse como impulsos de Lorentz en términos de rotaciones hiperbólicas, así como su demostración visual en términos de diagramas de Minkowski .
Extensión
La equipollencia geométrica también se utiliza en la esfera:
- Para apreciar el método de Hamilton , recordemos primero el caso mucho más simple del grupo abeliano de traslaciones en el espacio euclidiano tridimensional. Cada traslación es representable como un vector en el espacio, sólo la dirección y la magnitud son significativas y la ubicación irrelevante. La composición de dos traslaciones viene dada por la regla del paralelogramo de cabeza a cola de la suma de vectores; y tomar la inversa equivale a invertir la dirección. En la teoría de los giros de Hamilton, tenemos una generalización de tal imagen del grupo de traducción abeliano al SU no abeliano (2) . En lugar de vectores en el espacio, tratamos con arcos de círculo máximo dirigidos, de longitud <π en una esfera unitaria S 2 en un espacio tridimensional euclidiano. Dos de estos arcos se consideran equivalentes si deslizando uno a lo largo de su círculo máximo se puede hacer coincidir con el otro. [4]
En un gran círculo de una esfera, dos arcos circulares dirigidos son equipollentes cuando coinciden en la dirección y la longitud del arco. Una clase de equivalencia de tales arcos está asociada con un versor de cuaternión.
- donde a es la longitud del arco y r determina el plano del gran círculo por perpendicularidad.
Referencias
- ^ Michael J. Crowe (1967) Una historia del análisis de vectores , "Giusto Bellavitis y su cálculo de equipollencias", pp 52-4, University of Notre Dame Press
- ↑ Bellavitis (1854), §§ 145ff
- ^ Laisant (1874), págs. 133 y siguientes
- ^ N. Mukunda , Rajiah Simon y George Sudarshan (1989) "La teoría de los tornillos: una nueva representación geométrica para el grupo SU (1,1), Journal of Mathematical Physics 30 (5): 1000-1006 MR 0992568
Otras lecturas
- Giusto Bellavitis (1835) "Saggio di Applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
- Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze , enlace de Google Books .
- Charles-Ange Laisant (1874): traducción al francés con adiciones de Bellavitis (1854) Exposition de la méthode des equipollences , enlace de Google Books .
- Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni di WR Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze , enlace de HathiTrust.
- Charles-Ange Laisant (1887) Theorie et Applications des Equipollence , Gauthier-Villars, enlace de la colección histórica de matemáticas de la Universidad de Michigan .
- Lena L. Severance (1930) La teoría de las equipollencias; Método de geometría analítica de Sig. Bellavitis , enlace de HathiTrust.
enlaces externos
- Definición axiomática de equipollencia