En matemáticas , un versor es un cuaternión de la norma uno (un cuaternión de unidad ). La palabra se deriva del latín versare = "girar" con el sufijo -o formando un sustantivo del verbo (es decir, versor = "el tornero"). Fue introducido por William Rowan Hamilton en el contexto de su teoría del cuaternión.
Cada versor tiene la forma
donde la condición r 2 = −1 significa que r es un cuaternión vectorial de longitud unitaria (o que el primer componente de r es cero, y los últimos tres componentes de r son un vector unitario en 3 dimensiones). La correspondiente rotación tridimensional tiene el ángulo 2 a alrededor del eje r en la representación eje-ángulo . En el caso de a = π / 2 , el versor se denomina versor derecho .
Presentación en 3 y 2 esferas
Hamilton denotó el versor de un cuaternión q por el símbolo U q . Luego pudo mostrar el cuaternión general en forma de coordenadas polares.
- q = T q U q ,
donde T q es la norma de q . La norma de un versor es siempre igual a uno; por lo tanto, que ocupan la unidad 3-esfera en H . Los ejemplos de versores incluyen los ocho elementos del grupo de cuaterniones . De particular importancia son los versores correctos , que tienen un ángulo π / 2 . Estos versores tienen una parte escalar cero, y también lo son los vectores de longitud uno (vectores unitarios). Los versores derechos forman una esfera de raíces cuadradas de -1 en el álgebra de cuaterniones. Los generadores i , j y k son ejemplos de versores rectos, así como sus inversos aditivos . Otros versores incluyen los veinticuatro cuaterniones de Hurwitz que tienen la norma 1 y forman vértices de un policorón de 24 celdas .
Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos vectores. Un versor se puede definir como el cociente de dos vectores unitarios. Para cualquier plano fijo Π el cociente de dos vectores unitarios que se encuentran en Π depende solo del ángulo (dirigido) entre ellos, el mismo a que en la representación vector-ángulo unitario de un versor explicado anteriormente. Es por eso que puede ser natural entender los versores correspondientes como arcos dirigidos que conectan pares de vectores unitarios y se encuentran en un gran círculo formado por la intersección de Π con la esfera unitaria , donde el plano Π pasa por el origen. Los arcos de la misma dirección y longitud (o, lo mismo, su ángulo subtendido en radianes ) son equivalentes , es decir, definen el mismo versor.
Dicho arco, aunque se encuentra en el espacio tridimensional , no representa la trayectoria de un punto que gira como se describe con el producto intercalado con el versor. De hecho, representa la acción de multiplicación por la izquierda del versor sobre cuaterniones que conserva el plano Π y el gran círculo correspondiente de 3 vectores. La rotación tridimensional definida por el versor tiene el ángulo dos veces el ángulo subtendido del arco y conserva el mismo plano. Es una rotación sobre el vector correspondiente r , que es perpendicular a Π.
En tres vectores unitarios, Hamilton escribe [1]
- y
implicar
La multiplicación de cuaterniones de la norma uno corresponde a la "adición" (no conmutativa) de arcos de círculo máximo en la esfera unitaria. Cualquier par de grandes círculos es el mismo círculo o tiene dos puntos de intersección . Por lo tanto, siempre se puede mover el punto B y el vector correspondiente a uno de estos puntos de manera que el comienzo del segundo arco sea el mismo que el final del primer arco.
Una ecuación
implícitamente especifica la representación del vector unitario-ángulo para el producto de dos versores. Su solución es un ejemplo de la fórmula general de Campbell-Baker-Hausdorff en la teoría de grupos de Lie . Como la 3-esfera representada por los versores en ℍ es un grupo de Lie de 3 parámetros, la práctica con composiciones de versores es un paso hacia la teoría de Lie . Evidentemente, los versores son la imagen del mapa exponencial aplicado a una bola de radio π en el subespacio del cuaternión de vectores.
Los Versors componen como los arcos vectoriales antes mencionados, y Hamilton se refirió a esta operación de grupo como "la suma de arcos", pero como cuaterniones simplemente se multiplican.
La geometría del espacio elíptico se ha descrito como el espacio de los versores. [2]
Representación de SO (3)
El grupo ortogonal en tres dimensiones, grupo de rotación SO (3) , se interpreta con frecuencia con los versores a través del automorfismo interno. donde u es un versor. De hecho, si
- y el vector s es perpendicular a r ,
luego
por cálculo. [3] El avión es isomorfo a y el automorfismo interno, por conmutatividad, se reduce al mapeo de identidad allí. Dado que los cuaterniones se pueden interpretar como un álgebra de dos dimensiones complejas, la acción de rotación también se puede ver a través del grupo unitario especial SU (2) .
Para una r fija , los versores de la forma exp ( a r ) donde a ∈ (−π, π] , forman un subgrupo isomorfo al grupo circular . Las órbitas de la acción de multiplicación izquierda de este subgrupo son fibras de un haz de fibras sobre el 2-esfera, conocida como fibración de Hopf en el caso r = i ; otros vectores dan fibraciones isomórficas, pero no idénticas. En 2003, David W. Lyons [4] escribió "las fibras del mapa de Hopf son círculos en S 3 " (página 95) Lyons da una introducción elemental a los cuaterniones para dilucidar la fibración de Hopf como un mapeo de los cuaterniones unitarios.
Se han utilizado versiones para representar rotaciones de la esfera de Bloch con multiplicación de cuaterniones. [5]
Espacio elíptico
La facilidad de los versores ilustra la geometría elíptica , en particular el espacio elíptico , un reino tridimensional de rotaciones. Los versores son los puntos de este espacio elíptico, aunque se refieren a rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones . Dados dos versores fijos u y v , el mapeoes un movimiento elíptico . Si uno de los versores fijos es 1, entonces el movimiento es una traducción de Clifford del espacio elíptico, llamado así por William Kingdon Clifford, quien fue un proponente del espacio. Una línea elíptica que pasa por versor u esEl paralelismo en el espacio se expresa mediante los paralelos de Clifford . Uno de los métodos para ver el espacio elíptico utiliza la transformada de Cayley para mapear los versores a ℝ 3
Versor hiperbólico
Un versor hiperbólico es una generalización de versores cuaterniónicos a grupos ortogonales indefinidos , como el grupo de Lorentz . Se define como una cantidad de la forma
- dónde
Tales elementos surgen en álgebras de firma mixta , por ejemplo , números complejos divididos o cuaterniones divididos . Fue el álgebra de tessarinos descubierta por James Cockle en 1848 lo que proporcionó por primera vez versores hiperbólicos. De hecho, James Cockle escribió la ecuación anterior (con j en lugar de r ) cuando descubrió que los tesarinos incluían el nuevo tipo de elemento imaginario.
Este versor fue utilizado por Homersham Cox (1882/83) en relación con la multiplicación de cuaterniones. [6] [7] El principal exponente de los versores hiperbólicos fue Alexander Macfarlane mientras trabajaba para dar forma a la teoría del cuaternión al servicio de la ciencia física. [8] Vio el poder de modelado de los versores hiperbólicos que operan en el plano numérico del complejo dividido, y en 1891 introdujo los cuaterniones hiperbólicos para extender el concepto al espacio cuádruple. Los problemas en ese álgebra llevaron al uso de biquaternions después de 1900. En una revisión de 1899 de amplia circulación, Macfarlane dijo:
- ... la raíz de una ecuación cuadrática puede ser de naturaleza versor o escalar. Si es de naturaleza versor, entonces la parte afectada por el radical involucra el eje perpendicular al plano de referencia, y esto es así, tanto si el radical involucra la raíz cuadrada de menos uno como si no. En el primer caso, el versor es circular, en el segundo hiperbólico. [9]
Hoy en día, el concepto de grupo de un parámetro subsume los conceptos de versor y versor hiperbólico, ya que la terminología de Sophus Lie ha reemplazado a la de Hamilton y Macfarlane. En particular, para cada r tal que rr = +1 o rr = −1 , el mapeolleva la línea real a un grupo de versores hiperbólicos u ordinarios. En el caso normal, cuando r y - r son antípodas en una esfera, los grupos de una sola parámetros tienen los mismos puntos, pero están dirigidas en sentido opuesto. En física, este aspecto de la simetría rotacional se denomina doblete .
En 1911 Alfred Robb publicó su Optical Geometry of Motion en la que identificó el parámetro de rapidez que especifica un cambio en el marco de referencia . Este parámetro de rapidez corresponde a la variable real en un grupo de un solo parámetro de versores hiperbólicos. Con el mayor desarrollo de la relatividad especial, la acción de un versor hiperbólico pasó a llamarse impulso de Lorentz .
Teoría de la mentira
Sophus Lie tenía menos de un año cuando Hamilton describió por primera vez los cuaterniones, pero el nombre de Lie se ha asociado con todos los grupos generados por exponenciación. El conjunto de versores con su multiplicación ha sido denotado Sl (1, q) por Robert Gilmore en su texto sobre la teoría de Lie. [10] Sl (1, q) es el grupo lineal especial de una dimensión sobre cuaterniones, el "especial" indica que todos los elementos son de norma uno. El grupo es isomorfo a SU (2, c), un grupo unitario especial , una designación de uso frecuente ya que los cuaterniones y versores a veces se consideran anacrónicos para la teoría de grupos. El grupo ortogonal especial SO (3, r) de rotaciones en tres dimensiones está estrechamente relacionado: es una imagen homomórfica 2: 1 de SU (2, c).
El subespacio se llama álgebra de Lie del grupo de versores. El producto del conmutadorsimplemente duplicar el producto cruzado de dos vectores, forma la multiplicación en el álgebra de Lie. La estrecha relación con SU (1, c) y SO (3, r) es evidente en el isomorfismo de sus álgebras de Lie. [10]
Los grupos de mentiras que contienen versores hiperbólicos incluyen el grupo de la hipérbola unitaria y el grupo unitario especial SU (1,1) .
Ver también
- cis (matemáticas) ( cis ( x ) = cos ( x ) + i sin ( x ) )
- Cuaterniones y rotación espacial
- Rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones
- Turn (geometría)
Notas
- ^ Elementos de cuaterniones , segunda edición, v. 1, p. 146
- ^ Harold Scott MacDonald Coxeter (1950) Revisión de "Cuaterniones y espacio elíptico" [ enlace muerto permanente ] (por Georges Lemaître ) de Mathematical Reviews
- ^ Representación de rotación
- ^ Lyons, David W. (abril de 2003), "Una introducción elemental a la fibra de Hopf" ( PDF ) , Revista de matemáticas , 76 (2): 87–98, CiteSeerX 10.1.1.583.3499 , doi : 10.2307 / 3219300 , ISSN 0025-570X , JSTOR 3219300
- ^ KB Wharton, D. Koch (2015) "Cuaterniones de unidad y la esfera de Bloch", Journal of Physics A 48 (23) doi : 10.1088 / 1751-8113 / 48/23/235302 MR3355237
- ^ Cox, H. (1883) [1882]. "Sobre la aplicación de cuaterniones y Ausdehnungslehre de Grassmann a diferentes tipos de espacio uniforme" . Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 13 : 69-143.
- ^ Cox, H. (1883) [1882]. "Sobre la aplicación de cuaterniones y Ausdehnungslehre de Grassmann a diferentes tipos de espacio uniforme" . Proc. Camb. Phil. Soc . 4 : 194-196.
- ^ Documentos de Alexander Macfarlane (1894) sobre análisis espacial , especialmente artículos 2, 3 y 5, B. Westerman, Nueva York, enlace web de archive.org
- ^ Ciencia , 9: 326 (1899)
- ^ a b Robert Gilmore (1974) Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications , capítulo 5: Algunos ejemplos simples, páginas 120–35, WileyISBN 0-471-30179-5 Gilmore denota las álgebras de división real, compleja y de cuaterniones por r, cyq, en lugar de las más comunes R, C y H.
Referencias
- William Rowan Hamilton (1844 a 1850) Sobre cuaterniones o un nuevo sistema de imaginarios en álgebra , Philosophical Magazine , enlace a la colección de David R. Wilkins en Trinity College, Dublín .
- William Rowan Hamilton (1899) Elements of Quaternions , segunda edición, editado por Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company. Véanse las págs. 135-147.
- Arthur Sherburne Hardy (1887) Elements of Quaternions , págs. 71,2 "Representación de Versors por arcos esféricos" y págs. 112–8 "Aplicaciones a la trigonometría esférica".
- Arthur Stafford Hathaway (1896) Una introducción a los cuaterniones , Capítulo 2: Giros, rotaciones, pasos de arco, del Proyecto Gutenberg
- Cibelle Celestino Silva, Roberto de Andrade Martins (2002) "Vectores polares y axiales versus cuaterniones", American Journal of Physics 70: 958. Sección IV: Versores y vectores unitarios en el sistema de cuaterniones. Sección V: Versor y vectores unitarios en álgebra vectorial.
- Pieter Molenbroeck (1891) Theorie der Quaternionen , página 48, "Darstellung der Versoren mittelst Bogen auf der Einheitskugel", Leiden: Brill.
enlaces externos
- Versor en Encyclopedia of Mathematics .
- http://www.biology-online.org/dictionary/versor
- http://www.thefreedictionary.com/Versor
- Tutorial del Cuaternión de Luis Ibáñez de la Biblioteca Nacional de Medicina