¿Existe un conjunto denso de puntos en el plano a distancias racionales entre sí?
En matemáticas, el problema de Erdős-Ulam pregunta si el plano contiene un conjunto denso de puntos cuyas distancias euclidianas son todos números racionales . Lleva el nombre de Paul Erdős y Stanislaw Ulam .
Grandes conjuntos de puntos con distancias racionales
El teorema de Erdős-Anning establece que un conjunto de puntos con distancias enteras debe ser finito o estar en una sola línea. [1] Sin embargo, existen otros conjuntos infinitos de puntos con distancias racionales. Por ejemplo, en el círculo unitario , sea S el conjunto de puntos
dónde está restringido a valores que causan ser un número racional. Para cada uno de esos puntos, ambos y son a la vez racionales, y si y definir dos puntos en S , entonces su distancia es el número racional
De manera más general, un círculo con radio contiene un conjunto denso de puntos a distancias racionales entre sí si y sólo si es racional. [2] Sin embargo, estos conjuntos solo son densos en su círculo, no densos en todo el plano.
Historial y resultados parciales
En 1946, Stanislaw Ulam preguntó si existe un conjunto de puntos a distancias racionales entre sí que forman un subconjunto denso del plano euclidiano . [2] Si bien la respuesta a esta pregunta aún está abierta, József Solymosi y Frank de Zeeuw demostraron que las únicas curvas algebraicas irreductibles que contienen infinitos puntos a distancias racionales son las líneas y los círculos. [3] Terence Tao y Jafar Shaffaf observaron independientemente que, si la conjetura de Bombieri-Lang es cierta, los mismos métodos mostrarían que no hay un conjunto infinito de puntos densos a distancias racionales en el plano. [4] [5] Utilizando diferentes métodos, Hector Pasten demostró que la conjetura abc también implica una solución negativa al problema Erdős-Ulam. [6]
Consecuencias
Si el problema de Erdős-Ulam tiene una solución positiva, proporcionaría un contraejemplo a la conjetura de Bombieri-Lang [4] [5] ya la conjetura de abc . [6] También resolvería la conjetura de Harborth , sobre la existencia de dibujos de gráficos planos en los que todas las distancias son números enteros. Si existe un conjunto denso de distancias racionales, cualquier dibujo de línea recta de un gráfico plano podría verse perturbado por una pequeña cantidad (sin introducir cruces) para usar puntos de este conjunto como sus vértices, y luego escalar para hacer las distancias enteras. Sin embargo, al igual que el problema de Erdős-Ulam, la conjetura de Harborth sigue sin ser probada.
Referencias
- ^ Anning, Norman H .; Erdős, Paul (1945), "Distancias integrales" , Boletín de la American Mathematical Society , 51 (8): 598–600, doi : 10.1090 / S0002-9904-1945-08407-9.
- ^ a b Klee, Victor ; Wagon, Stan (1991), "Problema 10 ¿Contiene el plano un conjunto racional denso?", Problemas antiguos y nuevos sin resolver en geometría plana y teoría de números , exposiciones matemáticas Dolciani, 11 , Cambridge University Press, págs. 132-135, ISBN 978-0-88385-315-3.
- ^ Solymosi, József ; de Zeeuw, Frank (2010), "On a question of Erdős and Ulam", Discrete and Computational Geometry , 43 (2): 393–401, arXiv : 0806.3095 , doi : 10.1007 / s00454-009-9179-x , MR 2579704
- ^ a b Tao, Terence (20/12/2014), "El problema de Erdos-Ulam, variedades de tipo general y la conjetura de Bombieri-Lang" , Novedades , consultado el 5 de diciembre de 2016
- ^ a b Shaffaf, Jafar (mayo de 2018), "Una solución del problema de Erdős-Ulam en conjuntos de distancias racionales asumiendo la conjetura de Bombieri-Lang", Geometría discreta y computacional , 60 (8), arXiv : 1501.00159 , doi : 10.1007 / s00454-018 -0003-3
- ^ a b Pasten, Hector (2017), "Definibilidad de las órbitas de Frobenius y un resultado en conjuntos de distancias racionales", Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99-126, doi : 10.1007 / s00605-016-0973-2 , MR 3592123