En matemáticas , particularmente en la teoría de la medida , el rango esencial de una función es intuitivamente el rango "no despreciable" de la función: no cambia entre dos funciones que son iguales en casi todas partes . Una forma de pensar en el rango esencial de una función es el conjunto en el que el rango de la función está más "concentrado". El rango esencial se puede definir para funciones medibles reales o de valor complejo en un espacio de medida .
Definicion formal
Sea f una función de valor complejo medible de Borel definida en un espacio de medida . Entonces, el rango esencial de f se define como el conjunto:
En otras palabras: El rango esencial de una función con valores complejos es el conjunto de todos los números complejos z tales que la imagen inversa de cada ε-vecindad de z bajo f tiene una medida positiva.
Propiedades
- El rango esencial de una función medible siempre está cerrado.
- El rango esencial ess.im (f) de una función medible es siempre un subconjunto de .
- La imagen esencial no se puede utilizar para distinguir funciones que son iguales en casi todas partes: si sostiene - casi en todas partes , entonces.
- Estos dos hechos caracterizan la imagen esencial: Es el mayor conjunto contenido en los cierres de para todos los g que sean ae iguales af:
- .
- La gama esencial satisface .
- Este hecho caracteriza la imagen esencial: es el subconjunto cerrado más pequeño de con esta propiedad.
- El supremo esencial de una función valorada real es igual al supremo de su imagen esencial y el mínimo esencial es igual al mínimo de su rango esencial. En consecuencia, una función está esencialmente acotada si y solo si su rango esencial está acotado.
- El rango esencial de una función esencialmente acotada f es igual al espectro donde f se considera un elemento del C * -álgebra .
Ejemplos de
- Si es la medida cero, entonces la imagen esencial de todas las funciones mensurables está vacía.
- Esto también ilustra que aunque el rango esencial de una función es un subconjunto del cierre del rango de esa función, no es necesario que se cumpla la igualdad de los dos conjuntos.
- Si Esta abierto, continuo y la medida de Lebesgue, luego sostiene. Esto es válido de manera más general para todas las medidas de Borel que asignan medidas distintas de cero a cada conjunto abierto no vacío.
Ver también
Referencias
- Walter Rudin (1974). Análisis real y complejo (2ª ed.). McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054234-1.