Essential infimum y essential supremum

En matemáticas , los conceptos de esencial infimum y esencial supremum están relacionados con las nociones de infimum y supremum , pero adaptados para medir la teoría y el análisis funcional , donde a menudo se tratan enunciados que no son válidos para todos los elementos de un conjunto , sino más bien casi en todas partes , es decir, excepto en un conjunto de medida cero .

Si bien la definición exacta no es sencilla de inmediato, intuitivamente el supremo esencial de una función es el valor más pequeño que es mayor o igual que los valores de la función en todas partes al permitir ignorar lo que hace la función en un conjunto de puntos de medida cero. Por ejemplo, si se toma la función que es igual a cero en todas partes excepto en donde , entonces el supremo de la función es igual a uno. Sin embargo, su supremo esencial es cero porque se nos permite ignorar lo que hace la función en el único punto donde es peculiar. El mínimo esencial se define de manera similar.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f(0)=1}$${\displaystyle f}$

Definición

Como suele ser el caso en las preguntas de teoría de la medida, la definición de supremum e infimum esenciales no comienza preguntando qué hace una función f en los puntos x (es decir, la imagen de f ), sino más bien preguntando por el conjunto de puntos x donde f es igual a un valor específico y (es decir, la preimagen de y debajo de f ).

Deje f  :  X  →  R ser un verdadero valor de la función definida en un conjunto X . Un número real a se llama cota superior para f si f ( x ) ≤  a para todo x en X , es decir, si el conjunto

${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}$

está vacío . Dejar

${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,}$

ser el conjunto de límites superiores de f . Entonces el supremo de f se define por

${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}\,}$

si el conjunto de límites superiores no está vacío, y de lo contrario.${\displaystyle U_{f}}$${\displaystyle \sup f=+\infty }$

Alternativamente, si para algunos tenemos para todos , entonces , y (tomando este infimum como si el conjunto está vacío).${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \sup f\leq a}$${\displaystyle \sup f=\inf\{a\in \mathbb {R} :f(x)\leq a{\text{ for all }}x\in X\}}$${\displaystyle +\infty }$

Ahora suponga además que es un espacio de medida y, por simplicidad, suponga que la función es medible. Un número se denomina límite superior esencial de f si el conjunto medible es un conjunto de medida cero, ^[a] es decir, si para casi todo en . Dejar${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}\,}$

ser el conjunto de límites superiores esenciales. Entonces el supremo esencial se define de manera similar como

${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }\,}$

si , y de lo contrario.${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing }$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$

Alternativamente, si para algunos tenemos para casi todos , entonces , y (con este infimum tomándose como si el conjunto está vacío).${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf\{a\in \mathbb {R} :f(x)\leq a{\text{ for almost all }}x\in X\}}$${\displaystyle +\infty }$

Exactamente de la misma manera se define el mínimo esencial como el supremo de los límites inferiores esenciales , es decir,

${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}}$

si el conjunto de límites inferiores esenciales no está vacío, y en caso contrario; de nuevo hay una expresión alternativa como (siendo este si el conjunto está vacío).${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ for almost all }}x\in X\}}$${\displaystyle -\infty }$

Ejemplos de

En la línea real, considere la medida de Lebesgue y su correspondiente σ-álgebra Σ. Definir una función f mediante la fórmula

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise. }}\end{cases}}}$

El superior de esta función (valor más grande) es 5 y el mínimo (valor más pequeño) es -4. Sin embargo, la función toma estos valores solo en los conjuntos {1} y {−1} respectivamente, que son de medida cero. En todos los demás lugares, la función toma el valor 2. Así, tanto el supremo esencial como el mínimo esencial de esta función son 2.

Como otro ejemplo, considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$

donde Q denota los números racionales . Esta función es ilimitada tanto desde arriba como desde abajo, por lo que su supremum e infimum son ∞ y −∞ respectivamente. Sin embargo, desde el punto de vista de la medida de Lebesgue, el conjunto de números racionales es de medida cero; por tanto, lo que realmente importa es lo que sucede en el complemento de este conjunto, donde la función se da como arctan  x . De ello se deduce que el supremo esencial es π / 2 mientras que el mínimo esencial es - π / 2.

Por otro lado, considere la función f ( x ) =  x ³ definida para todo x real . Su supremo esencial es y su mínimo esencial es .${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

Por último, considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}}$

Entonces, para cualquiera , tenemos y así y .${\displaystyle \textstyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}$${\displaystyle \textstyle U_{f}^{\text{ess}}=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$

Propiedades

• Si tenemos . Si tiene medida cero y . ^[1]${\displaystyle \mu (X)>0}$${\displaystyle \inf f\leq \operatorname {ess} \inf f\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \sup f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=-\infty }$${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=+\infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)\leq (\operatorname {ess} \sup f)(\operatorname {ess} \sup g)}$ siempre que los dos términos de la derecha no sean negativos.

Ver también

• L ^p espacios

Notas

1. Para funciones no medibles, la definición debe modificarse asumiendo queestá contenida en un conjunto de medida cero. Alternativamente, se puede asumir que la medida está completa .${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$

Referencias

1. Dieudonné J .: Tratado sobre análisis, vol. II. Associated Press, Nueva York 1976. pág. 172 y sig.

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