Euler's Disk , inventado entre 1987 y 1990 por Joseph Bendik, [1] es una marca comercial de un juguete educativo científico . [2] Se utiliza para ilustrar y estudiar el sistema dinámico de un disco giratorio y rodante sobre una superficie plana o curva, y ha sido objeto de varios artículos científicos. [3]
Descubrimiento
Joseph Bendik notó por primera vez el interesante movimiento del disco giratorio mientras trabajaba en Hughes Aircraft (Centro de Investigación de Carlsbad) después de girar un pesado mandril para pulir en su escritorio durante el almuerzo un día. El efecto de giro fue tan dramático que inmediatamente llamó a su amigo y compañero de trabajo Richard Henry Wyles para que le echara un vistazo. También llamó a su amigo Larry Shaw ( inventor de Astrojax ) por teléfono y le hizo escuchar el sonido del disco giratorio.
El aparato se conoce como una visualización espectacular de los intercambios de energía en tres procesos diferentes estrechamente acoplados. A medida que el disco disminuye gradualmente su rotación azimutal, también disminuye la amplitud y aumenta la frecuencia de la precesión axial del disco.
La evolución de la precesión axial del disco se visualiza fácilmente en un video en cámara lenta mirando el lado del disco siguiendo un solo punto marcado en el disco. La evolución de la rotación del disco se visualiza fácilmente en cámara lenta mirando la parte superior del disco siguiendo una flecha dibujada en el disco que representa su radio.
A medida que el disco libera la energía inicial proporcionada por el usuario y se acerca a detenerse, el disco parece desafiar la gravedad a través de estos intercambios dinámicos de energía. Bendik nombró al juguete en honor a Leonhard Euler , quien estudió física similar en el siglo XVIII. [ cita requerida ]
Componentes y funcionamiento
El juguete disponible en el mercado consta de un disco de acero cromado pesado y grueso y una base rígida, ligeramente cóncava y espejada. Las pegatinas magnéticas holográficas incluidas se pueden colocar en el disco para mejorar el efecto visual del bamboleo. Estos accesorios son estrictamente decorativos y pueden reducir la capacidad de ver y comprender qué procesos están realmente en funcionamiento.
El disco, cuando se hace girar sobre una superficie plana, exhibe un movimiento giratorio / rodante, progresando lentamente a través de diferentes velocidades y tipos de movimiento antes de detenerse. En particular, la tasa de precesión del eje de simetría del disco se acelera a medida que el disco gira hacia abajo. El espejo rígido se utiliza para proporcionar una superficie adecuada de baja fricción, con una ligera concavidad que evita que el disco giratorio "se desvíe" de una superficie de apoyo.
Una moneda corriente que se hace girar sobre una mesa, como cualquier disco que se hace girar sobre una superficie relativamente plana, exhibe esencialmente el mismo tipo de movimiento, pero no gira en ningún lugar tan largo como un disco de Euler. Los discos de Euler disponibles en el mercado proporcionan una demostración más eficaz del fenómeno que los artículos más comunes, ya que tienen una relación de aspecto optimizada y un borde pulido con precisión y ligeramente redondeado para maximizar el tiempo de giro / laminación.
Física
Un disco giratorio / rodante finalmente se detiene de manera bastante abrupta, la etapa final de movimiento está acompañada por un zumbido de frecuencia que aumenta rápidamente. A medida que el disco rueda, el punto de contacto rodante describe un círculo que oscila con una velocidad angular constante.. Si el movimiento no es disipativo (sin fricción),es constante y el movimiento persiste para siempre; esto es contrario a la observación, ya queno es constante en situaciones de la vida real. De hecho, la tasa de precesión del eje de simetría se aproxima a una singularidad de tiempo finito modelada por una ley de potencia con exponente aproximadamente -1/3 (dependiendo de condiciones específicas).
Hay dos efectos disipativos conspicuos: fricción de rodadura cuando la moneda se desliza por la superficie y arrastre de aire por la resistencia del aire. Los experimentos muestran que la fricción de rodadura es la principal responsable de la disipación y el comportamiento [4]; los experimentos en el vacío muestran que la ausencia de aire afecta el comportamiento sólo levemente, mientras que el comportamiento (tasa de precesión) depende sistemáticamente del coeficiente de fricción . En el límite del ángulo pequeño (es decir, inmediatamente antes de que el disco deje de girar), la resistencia del aire (específicamente, la disipación viscosa ) es el factor dominante, pero antes de esta etapa final, la fricción de rodadura es el efecto dominante.
Movimiento constante con el centro del disco en reposo
El comportamiento de un disco giratorio cuyo centro está en reposo se puede describir de la siguiente manera. [5] Dejemos que la línea desde el centro del disco hasta el punto de contacto con el plano se llame eje. Dado que el centro del disco y el punto de contacto están instantáneamente en reposo (asumiendo que no hay deslizamiento) ejees el eje de rotación instantáneo. El momento angular es que vale para cualquier disco delgado, circularmente simétrico con masa ; para un disco con masa concentrada en el borde, para un disco uniforme (como el disco de Euler), es el radio del disco, y es la velocidad angular a lo largo de .
La fuerza de contacto es dónde es la aceleración gravitacional y es el eje vertical apuntando hacia arriba. El par sobre el centro de masa es que podemos reescribir como dónde . Podemos concluir que tanto el momento angular, y el disco está precesando sobre el eje vertical a razón
( 1 )
Al mismo tiempo es la velocidad angular del punto de contacto con el plano. Definamos el ejepara situarse a lo largo del eje de simetría del disco y apuntando hacia abajo. Entonces sostiene que, dónde es el ángulo de inclinación del disco con respecto al plano horizontal. La velocidad angular se puede considerar compuesta de dos partes, dónde es la velocidad angular del disco a lo largo de su eje de simetría. De la geometría podemos concluir fácilmente que:
Enchufar en la ecuación ( 1 ) finalmente obtenemos
( 2 )
Como se aproxima adiabáticamente a cero, la velocidad angular del punto de contacto se vuelve muy grande y se oye un sonido de alta frecuencia asociado con el disco giratorio. Sin embargo, la rotación de la figura en la cara de la moneda, cuya velocidad angular esse acerca a cero. La velocidad angular total también se desvanece así como la energía total
como se acerca a cero. Aquí hemos utilizado la ecuación ( 2 ).
Como se acerca a cero, el disco finalmente pierde contacto con la mesa y el disco se instala rápidamente en la superficie horizontal. Uno escucha sonido a una frecuencia, que se vuelve dramáticamente más alto hasta que el sonido cesa abruptamente.
Historia de la investigacion
Moffatt
A principios de la década de 2000, la investigación fue provocada por un artículo en la edición del 20 de abril de 2000 de Nature , [6] donde Keith Moffatt mostró que la disipación viscosa en la fina capa de aire entre el disco y la mesa sería suficiente para explicar la brusquedad observada del proceso de asentamiento. También mostró que el movimiento concluyó en una singularidad de tiempo finito . Su primera hipótesis teórica fue contradicha por una investigación posterior, que mostró que la fricción por rodadura es en realidad el factor dominante.
Moffatt demostró que, a medida que el tiempo se acerca a un momento en particular (que es matemáticamente una constante de integración ), la disipación viscosa se acerca al infinito . La singularidad que esto implica no se realiza en la práctica, porque la magnitud de la aceleración vertical no puede superar la aceleración debida a la gravedad (el disco pierde contacto con su superficie de apoyo). Moffatt continúa mostrando que la teoría se rompe a la vez antes del tiempo de asentamiento final , dada por:
dónde es el radio del disco, es la aceleración debida a la gravedad de la Tierra, la viscosidad dinámica del aire , yla masa del disco. Para el juguete Euler's Disk disponible en el mercado (consulte el enlace en "Enlaces externos" a continuación), es sobre segundos, momento en el que el ángulo entre la moneda y la superficie, , es aproximadamente 0.005 radianes y la velocidad angular de balanceo, , es de unos 500 Hz.
Usando la notación anterior, el tiempo total de giro / laminado es:
dónde es la inclinación inicial del disco, medida en radianes . Moffatt también demostró que, si, la singularidad de tiempo finito en es dado por
Resultados experimentales
El trabajo teórico de Moffatt inspiró a varios otros trabajadores a investigar experimentalmente el mecanismo disipativo de un disco giratorio / rodante, con resultados que contradecían parcialmente su explicación. Estos experimentos utilizaron objetos giratorios y superficies de diversas geometrías (discos y anillos), con coeficientes de fricción variables, tanto en el aire como en el vacío, y utilizaron instrumentación como la fotografía de alta velocidad para cuantificar el fenómeno.
En el número de Nature del 30 de noviembre de 2000 , los físicos Van den Engh, Nelson y Roach discuten experimentos en los que se hacen girar discos en el vacío. [7] Van den Engh usó un rijksdaalder , una moneda holandesa , cuyas propiedades magnéticas permitían que se hiciera girar a una velocidad determinada con precisión. Descubrieron que el deslizamiento entre el disco y la superficie podría explicar las observaciones, y la presencia o ausencia de aire solo afectaba ligeramente el comportamiento del disco. Señalaron que el análisis teórico de Moffatt predeciría un tiempo de giro muy largo para un disco en el vacío, que no se observó.
Moffatt respondió con una teoría generalizada que debería permitir la determinación experimental de qué mecanismo de disipación es dominante, y señaló que el mecanismo de disipación dominante siempre sería la disipación viscosa en el límite de pequeñas dimensiones. (es decir, justo antes de que se asiente el disco). [8]
Un trabajo posterior en la Universidad de Guelph por Petrie, Hunt y Gray [9] mostró que la realización de los experimentos en el vacío (presión 0.1 pascal ) no afectó significativamente la tasa de disipación de energía. Petrie y col. también mostró que las velocidades no se vieron afectadas en gran medida al reemplazar el disco con una forma de anillo , y que la condición de no deslizamiento se cumplió para ángulos superiores a 10 °. Otro trabajo de Caps, Dorbolo, Ponte, Croisier y Vandewalle [10] ha concluido que el aire es una fuente menor de disipación de energía. El principal proceso de disipación de energía es el balanceo y deslizamiento del disco sobre la superficie de apoyo. Se demostró experimentalmente que el ángulo de inclinación, la tasa de precesión y la velocidad angular siguen el comportamiento de la ley de potencia.
En varias ocasiones durante la huelga del Gremio de Escritores de Estados Unidos de 2007-2008 , el presentador de programas de entrevistas Conan O'Brien hacía girar su anillo de bodas en su escritorio, tratando de hacerlo girar durante el mayor tiempo posible. La búsqueda para lograr tiempos de giro cada vez más largos lo llevó a invitar al profesor del MIT Peter Fisher al programa para experimentar con el problema. Girar el anillo en el vacío no tuvo ningún efecto identificable, mientras que una superficie de soporte giratorio de teflón dio un tiempo récord de 51 segundos, corroborando la afirmación de que la fricción de rodadura es el mecanismo principal para la disipación de energía cinética. [ cita requerida ] Leine [11] ha estudiado varios tipos de fricción rodante como mecanismo principal para la disipación de energía y confirmó experimentalmente que la resistencia a la fricción del movimiento del punto de contacto sobre el borde del disco es probablemente el mecanismo de disipación principal en una escala de tiempo de segundos.
En la cultura popular
Los discos de Euler aparecen en la película Snow Cake de 2006 y en el programa de televisión The Big Bang Theory , temporada 10, episodio 16, que se emitió el 16 de febrero de 2017.
El equipo de sonido de la película de 2001 Pearl Harbor utilizó un disco de Euler giratorio como efecto de sonido para torpedos. Durante las presentaciones de los Premios de la Academia se escuchó un breve clip del equipo de sonido tocando con Euler's Disk. [ cita requerida ]
Ver también
- Lista de temas que llevan el nombre de Leonhard Euler
- Tippe top : otro juguete de física giratorio que muestra un comportamiento sorprendente
Referencias
- ^ Fred Guter (1 de diciembre de 1996). "Juguetes de la ciencia" . Descubrir . Consultado el 23 de noviembre de 2018 .
Mientras Bendik jugaba con el disco, pensó: Quizás sería un buen juguete.
- ^ "Marcas> Sistema de búsqueda electrónica de marcas (TESS)> Disco de Euler" . Oficina de Patentes y Marcas de Estados Unidos. 21 de septiembre de 2010 . Consultado el 23 de noviembre de 2018 .
Indicador Vivo / Muerto: VIVO
- ^ "Publicaciones" . eulersdisk.com.
- ^ Easwar, K .; Rouyer, F .; Menon, N. (2002). "Acelerar hasta detenerse: la singularidad de tiempo finito de un disco giratorio". Revisión E física . 66 (4): 045102. Código Bibliográfico : 2002PhRvE..66d5102E . doi : 10.1103 / PhysRevE.66.045102 . PMID 12443243 .
- ^ McDonald, Alexander J .; McDonald, Kirk T. (2000). "El movimiento de rodadura de un disco en un plano horizontal". arXiv : física / 0008227 .
- ^ Moffatt, HK (20 de abril de 2000). "El disco de Euler y su singularidad de tiempo finito". Naturaleza . 404 (6780): 833–834. Código Bibliográfico : 2000Natur.404..833M . doi : 10.1038 / 35009017 . PMID 10786779 . S2CID 197644581 .
- ^ Van den Engh, Ger; Nelson, Peter; Roach, Jared (30 de noviembre de 2000). "Dinámica analítica: giros numismáticos". Naturaleza . 408 (6812): 540. Bibcode : 2000Natur.408..540V . doi : 10.1038 / 35046209 . PMID 11117733 . S2CID 4407382 .
- ^ Moffatt, HK (30 de noviembre de 2000). "Respuesta: Giros numismáticos". Naturaleza . 408 (6812): 540. Bibcode : 2000Natur.408..540M . doi : 10.1038 / 35046211 . S2CID 205011563 .
- ^ Petrie, D .; Hunt, JL; Gray, CG (2002). "¿El disco de Euler se desliza durante su movimiento?". Revista estadounidense de física . 70 (10): 1025–1028. Código Bibliográfico : 2002AmJPh..70.1025P . doi : 10.1119 / 1.1501117 . S2CID 28497371 .
- ^ Gorras, H .; Dorbolo, S .; Ponte, S .; Croisier, H; Vandewalle, N. (mayo de 2004). "Movimiento de balanceo y deslizamiento del disco de Euler" (PDF) . Phys. Rev. E . 69 (5): 056610. arXiv : cond-mat / 0401278 . Código Bibliográfico : 2004PhRvE..69e6610C . doi : 10.1103 / PhysRevE.69.056610 . PMID 15244966 .
- ^ Leine, RI (2009). "Investigación experimental y teórica de la disipación de energía de un disco rodante durante su etapa final de movimiento" (PDF) . Archivo de Mecánica Aplicada . 79 (11): 1063–1082. Código bibliográfico : 2009AAM .... 79.1063L . doi : 10.1007 / s00419-008-0278-6 . hdl : 20.500.11850 / 12334 . S2CID 48358816 .
enlaces externos
- Eulersdisk.com
- La física de una moneda que gira (20 de abril de 2000) PhysicsWeb
- Investigación experimental y teórica de la disipación de energía de un disco rodante durante su etapa final de movimiento (12 de diciembre de 2008) Arch Appl Mech
- Comentario sobre el disco de Moffat (31 de marzo de 2002)
- "Disco de Euler" . Problemas de física del mundo real . real-world-physics-problems.com . Consultado el 11 de julio de 2014 . Análisis detallado de física matemática del movimiento del disco
- Un video de YouTube de un Euler's Disk en acción