Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology es un libro sobre la fórmulapara la característica de Euler de los poliedros convexos y sus conexiones con la historia de la topología . Fue escrito por David Richeson y publicado en 2008 por Princeton University Press , con una edición de bolsillo en 2012. Ganó el Premio Euler Book 2010 de la Asociación Matemática de América . [1] [2]
Temas
El libro está organizado históricamente y el crítico Robert Bradley divide los temas del libro en tres partes. [3] La primera parte analiza la historia anterior de los poliedros, incluidas las obras de Pitágoras , Tales , Euclides y Johannes Kepler , y el descubrimiento por René Descartes de una versión poliédrica del teorema de Gauss-Bonnet (que más tarde se consideró equivalente a Fórmula de Euler). Examina la vida de Euler , su descubrimiento a principios de la década de 1750 de que la característica de Euler es igual a dos para todos los poliedros convexos , y sus fallidos intentos de demostración, y concluye con la primera prueba rigurosa de esta identidad en 1794 por Adrien-Marie Legendre , [3] [4] [5] basado en el teorema de Girard que relaciona la exceso angular de triángulos en trigonometría esférica a su área. [6] [7]
Aunque los poliedros son objetos geométricos, Euler's Gem sostiene que Euler descubrió su fórmula al ser el primero en verlos topológicamente (como patrones abstractos de incidencia de vértices, caras y aristas), en lugar de a través de sus distancias y ángulos geométricos. [8] (Sin embargo, este argumento se ve socavado por la discusión del libro de ideas similares en las obras anteriores de Kepler y Descartes.) [7] El nacimiento de la topología está convencionalmente marcado por una contribución anterior de Euler, su trabajo de 1736 sobre los Siete Bridges of Königsberg , y la parte media del libro conecta estos dos trabajos a través de la teoría de grafos . [3] Prueba la fórmula de Euler en una forma topológica en lugar de geométrica, para gráficos planos , y analiza sus usos para probar que estos gráficos tienen vértices de bajo grado , un componente clave en las demostraciones del teorema de los cuatro colores . Incluso establece conexiones con la teoría de juegos combinatorios a través de los juegos basados en gráficos de Sprouts y Brussels Sprouts y su análisis utilizando la fórmula de Euler. [3] [4]
En la tercera parte del libro, Bradley pasa de la topología del plano y la esfera a superficies topológicas arbitrarias. [3] Para cualquier superficie, las características de Euler de todas las subdivisiones de la superficie son iguales, pero dependen de la superficie en lugar de ser siempre 2. Aquí, el libro describe el trabajo de Bernhard Riemann , Max Dehn y Poul Heegaard en el clasificación de variedades , en la que se demostró que las superficies topológicas bidimensionales pueden describirse completamente por sus características de Euler y su orientabilidad . Otros temas discutidos en esta parte incluyen la teoría de nudos y la característica de Euler de las superficies de Seifert , el teorema de Poincaré-Hopf , el teorema del punto fijo de Brouwer , los números de Betti y la prueba de Grigori Perelman de la conjetura de Poincaré . [2] [4]
Un apéndice incluye instrucciones para crear modelos de papel y pompas de jabón de algunos de los ejemplos del libro. [2] [4]
Audiencia y recepción
Euler's Gem está dirigida a un público general interesado en temas matemáticos, con bocetos biográficos y retratos de los matemáticos que analiza, muchos diagramas y razonamientos visuales en lugar de pruebas rigurosas y solo unas pocas ecuaciones simples. [3] [4] [2] Sin ejercicios, no es un libro de texto. [9] Sin embargo, las últimas partes del libro pueden resultar difíciles para los aficionados, ya que requieren al menos una comprensión de nivel universitario de cálculo y geometría diferencial . [4] [10] El revisor Dustin L. Jones también sugiere que los maestros encontrarían útiles en el aula sus ejemplos, explicaciones intuitivas y material de antecedentes históricos. [11]
Aunque el crítico Jeremy L. Martin se queja de que "las generalizaciones del libro sobre la historia y la estética de las matemáticas son un poco simplistas o incluso unilaterales", señala un error matemático significativo en la combinación del libro de la dualidad polar con la dualidad de Poincaré , y ve la actitud del libro hacia la prueba asistida por computadora como "innecesariamente desdeñosa", sin embargo, concluye que el contenido matemático del libro "supera estos defectos ocasionales". [7] Dustin Jones evalúa el libro como "una mezcla única de historia y matemáticas ... interesante y agradable", [11] y el crítico Bruce Roth lo llama "bien escrito y lleno de ideas interesantes". [6] La crítica Janine Daems escribe: "Fue un placer leer este libro y se lo recomiendo a todos los que no le teman a los argumentos matemáticos". [8]
Ver también
- Lista de libros sobre poliedros
Referencias
- ↑ Euler Book Prize , Mathematical Association of America , consultado el 25 de febrero de 2020
- ^ a b c d Ciesielski, Krzysztof, "Revisión de la gema de Euler ", Revisiones matemáticas , MR 2963735
- ^ a b c d e f Bradley, Robert (8 de enero de 2009), "Review of Euler's Gem " , Times Higher Education
- ^ a b c d e f Bultheel, Adhemar (enero de 2020), "Review of Euler's Gem " , EMS Reviews , European Mathematical Society
- ^ Wagner, Clifford (febrero de 2010), "Review of Euler's Gem ", Convergence , Asociación Matemática de América , doi : 10.4169 / loci003291
- ^ a b Roth, Bruce (marzo de 2010), "Review of Euler's Gem ", The Mathematical Gazette , 94 (529): 176-177, doi : 10.1017 / S0025557200007397 , JSTOR 27821912
- ^ a b c Martin, Jeremy (diciembre de 2010), "Review of Euler's Gem " (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 57 (11): 1448-1450
- ^ a b Daems, Jeanine (diciembre de 2009), "Review of Euler's Gem ", The Mathematical Intelligencer , 32 (3): 56–57, doi : 10.1007 / s00283-009-9116-0
- ^ Satzer, William J. (octubre de 2008), "Review of Euler's Gem " , MAA Reviews , Asociación Matemática de América
- ^ Karpenkov, Oleg, zbMATH , Zbl 1153.55001CS1 maint: publicación periódica sin título ( enlace )
- ^ a b Jones, Dustin L. (agosto de 2009), "Review of Euler's Gem ", The Mathematics Teacher , National Council of Teachers of Mathematics , 103 (1): 87, JSTOR 20876528