En matemáticas , una superficie Seifert (llamada así por el matemático alemán Herbert Seifert [1] [2] ) es una superficie cuyo límite es un nudo o vínculo dado .
Estas superficies se pueden utilizar para estudiar las propiedades del nudo o enlace asociado. Por ejemplo, muchas invariantes de nudos se calculan más fácilmente utilizando una superficie Seifert. Las superficies Seifert también son interesantes por derecho propio y son objeto de una considerable investigación.
Específicamente, deja que L sea un dócil orientada nudo o enlace en euclidiana 3-espacio (o en el 3-esfera ). Una superficie Seifert es una superficie S compacta , conectada y orientada incrustada en un espacio tridimensional cuyo límite es L tal que la orientación en L es solo la orientación inducida de S , y cada componente conectado de S tiene un límite no vacío.
Tenga en cuenta que cualquier superficie compacta, conectada y orientada con límite no vacío en el espacio euclidiano 3 es la superficie Seifert asociada a su vínculo límite. Un solo nudo o eslabón puede tener muchas superficies Seifert desiguales diferentes. Se debe orientar una superficie Seifert . También es posible asociar superficies a nudos que no están orientados ni orientables.
Ejemplos de
La tira de Möbius estándar tiene un nudo para un límite, pero no es una superficie Seifert para un nudo porque no es orientable.
El color de "tablero de ajedrez" de la proyección de cruce mínima habitual del nudo del trébol da una tira de Mobius con tres medias vueltas. Como en el ejemplo anterior, esta no es una superficie Seifert ya que no es orientable. La aplicación del algoritmo de Seifert a este diagrama, como se esperaba, produce una superficie de Seifert; en este caso, es un toro perforado del género g = 1, y la matriz de Seifert es
Existencia y matriz de Seifert
Es un teorema que cualquier vínculo siempre tiene una superficie Seifert asociada. Este teorema fue publicado por primera vez por Frankl y Pontryagin en 1930. [3] Herbert Seifert publicó una prueba diferente en 1934 y se basa en lo que ahora se llama el algoritmo de Seifert. El algoritmo produce una superficie Seifert., dada una proyección del nudo o enlace en cuestión.
Suponga que el vínculo tiene m componentes ( m = 1 para un nudo), el diagrama tiene d puntos de cruce y al resolver los cruces (conservando la orientación del nudo) se obtienen f círculos. Entonces la superficiese construye a partir de f discos separados uniendo d bandas. El grupo de homologíaes abeliano libre en generadores de 2 g , donde
es el género de. La forma de intersección Q enes simétrico sesgado , y hay una base de ciclos de 2 g
con
la suma directa de g copias de
- .
La matriz de Seifert entera de 2 g × 2 g
posee el número de enlace en el espacio tridimensional euclidiano (o en la esfera tridimensional ) de una i y el "empuje" de una j en la dirección positiva de. Más precisamente, recordando que las superficies de Seifert son bicolares, lo que significa que podemos extender la incrustación de a una incrustación de , dado un bucle representativo que es generador de homologia en el interior de , la expulsión positiva es y la expulsión negativa es . [4]
Con esto tenemos
donde V * = ( v ( j , i )) la matriz de transposición. Cada matriz entera de 2 g × 2 g con surge como la matriz de Seifert de un nudo con superficie de género g Seifert.
El polinomio de Alexander se calcula a partir de la matriz de Seifert medianteque es un polinomio de grado como máximo 2 g en el indeterminado El polinomio de Alexander es independiente de la elección de la superficie Seifert. y es invariante del nudo o enlace.
La firma de un nudo es la firma de la matriz simétrica de Seifert De nuevo es una invariante del nudo o enlace.
Género de un nudo
Las superficies Seifert no son en absoluto únicas: una superficie Seifert S del género gy una matriz Seifert V pueden modificarse mediante una cirugía topológica , lo que da como resultado una superficie Seifert S ′ del género g + 1 y una matriz Seifert
El género de un nudo K es la invariante nudo definido por la mínima género g de una superficie Seifert para K .
Por ejemplo:
- Un nudo, que es, por definición, el límite de un disco, tiene género cero. Además, el nudo es el único nudo con género cero.
- El nudo de trébol tiene género 1, al igual que el nudo en forma de ocho .
- El género de un ( p , q ) - nudo toro es ( p - 1) ( q - 1) / 2
- El grado del polinomio de Alexander de un nudo es un límite inferior en dos veces su género.
Una propiedad fundamental del género es que es aditivo con respecto a la suma del nudo :
En general, el género de un nudo es difícil de calcular y el algoritmo de Seifert generalmente no produce una superficie de Seifert del menor género. Por esta razón, a veces son útiles otros invariantes relacionados. El género canónico de un nudo es el menor género de todas las superficies de Seifert que puede ser construido por el algoritmo de Seifert, y el género libre es el menor género de todas las superficies Seifert cuyo complemento en es un manillar . (El complemento de una superficie de Seifert generada por el algoritmo de Seifert es siempre un cuerpo de mango). Para cualquier nudo, la desigualdadobviamente se cumple, por lo que, en particular, estos invariantes colocan límites superiores en el género. [5]
Ver también
- Número de crosscap
- Arf invariante de un nudo
Referencias
- ^ Seifert, H. (1934). "Über das Geschlecht von Knoten". Matemáticas. Annalen (en alemán). 110 (1): 571–592. doi : 10.1007 / BF01448044 .
- ^ van Wijk, Jarke J .; Cohen, Arjeh M. (2006). "Visualización de superficies Seifert". Transacciones IEEE sobre visualización y gráficos por computadora . 12 (4): 485–496. doi : 10.1109 / TVCG.2006.83 . PMID 16805258 .
- ^ Frankl, F .; Pontrjagin, L. (1930). "Ein Knotensatz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie". Matemáticas. Annalen (en alemán). 102 (1): 785–789. doi : 10.1007 / BF01782377 .
- ^ Dale Rolfsen. Nudos y eslabones. (1976), 146-147.
- ^ Brittenham, Mark (24 de septiembre de 1998). "Volumen de límites de género canónico delimitador". arXiv : matemáticas / 9809142 .
enlaces externos
- El programa SeifertView de Jack van Wijk visualiza las superficies Seifert de nudos construidos utilizando el algoritmo de Seifert.