En matemáticas , específicamente geometría y topología , la clasificación de variedades es una cuestión básica, sobre la que se sabe mucho, y quedan muchas preguntas abiertas.
Temas principales
Descripción general
- Las variedades de baja dimensión se clasifican por estructura geométrica; las variedades de alta dimensión se clasifican algebraicamente, por la teoría de la cirugía .
- "Dimensiones reducidas" significa dimensiones de hasta 4; "dimensiones altas" significa 5 o más dimensiones. El caso de la dimensión 4 es de alguna manera un caso límite, ya que manifiesta un comportamiento "de baja dimensión" sin problemas (pero no topológicamente); ver discusión de dimensión "baja" versus "alta" .
- Las diferentes categorías de variedades producen diferentes clasificaciones; estos están relacionados por la noción de "estructura", y las categorías más generales tienen teorías más ordenadas.
- La curvatura positiva está restringida, la curvatura negativa es genérica.
- La clasificación abstracta de variedades de alta dimensión es ineficaz : dadas dos variedades (presentadas como complejos CW , por ejemplo), no existe un algoritmo para determinar si son isomorfas.
Diferentes categorías y estructura adicional.
Formalmente, clasificar variedades es clasificar objetos hasta el isomorfismo . Hay muchas nociones diferentes de "variedad" y las nociones correspondientes de "mapa entre variedades", cada una de las cuales produce una categoría diferente y una pregunta de clasificación diferente.
Estas categorías están relacionadas por functores olvidadizos : por ejemplo, una variedad diferenciable es también una variedad topológica, y un mapa diferenciable también es continuo, por lo que hay un functor.
En general, estos functores no son uno a uno ni sobre; estos fallos se denominan generalmente en términos de "estructura", como sigue. Una variedad topológica que está en la imagen de se dice que "admite una estructura diferenciable", y la fibra sobre una variedad topológica dada son "las diferentes estructuras diferenciables en la variedad topológica dada".
Así, dadas dos categorías, las dos preguntas naturales son:
- ¿Qué variedades de un tipo dado admiten una estructura adicional?
- Si admite una estructura adicional, ¿cuántas admite?
- Más precisamente, ¿cuál es la estructura del conjunto de estructuras adicionales?
En categorías más generales, este conjunto de estructuras tiene más estructura: en Diff es simplemente un conjunto, pero en Top es un grupo, y funcionalmente.
Muchas de estas estructuras son estructuras G y la cuestión es la reducción del grupo de estructuras . El ejemplo más familiar es la orientabilidad: algunas variedades son orientables, otras no, y las variedades orientables admiten 2 orientaciones.
Enumeración versus invariantes
Hay dos formas habituales de dar una clasificación: explícitamente, mediante una enumeración, o implícitamente, en términos de invariantes.
Por ejemplo, para superficies orientables, la clasificación de superficies las enumera como la suma de conexión detori, y un invariante que los clasifica es el género o característica de Euler .
Los colectores tienen un rico conjunto de invariantes, que incluyen:
- Topología de conjunto de puntos
- Topología algebraica clásica
- Topología geométrica
- invariantes normales ( orientabilidad , clases de características y números de características)
- Homotopía simple ( torsión de Reidemeister )
- Teoría de la cirugía
La topología algebraica moderna (más allá de la teoría del cobordismo ), como la (co) homología extraordinaria , se usa poco en la clasificación de variedades, porque estas invariantes son invariantes de homotopía y, por lo tanto, no ayudan con las clasificaciones más finas por encima del tipo de homotopía.
Los grupos de cobordismo (los grupos de bordismo de un punto) se calculan, pero los grupos de bordismo de un espacio (como ) generalmente no lo son.
Conjunto de puntos
La clasificación de conjuntos de puntos es básica; uno generalmente fija los supuestos de conjuntos de puntos y luego estudia esa clase de variedad. La clase de colectores que se clasifica con más frecuencia son los colectores cerrados conectados.
Al ser homogéneos (lejos de cualquier límite), las variedades no tienen invariantes de conjunto de puntos locales, aparte de su dimensión y límite versus interior, y las propiedades de conjunto de puntos globales más utilizadas son la compacidad y la conectividad. Los nombres convencionales para combinaciones de estos son:
- Un colector compacto es un colector compacto, posiblemente con límite, y no necesariamente conectado (pero necesariamente con un número finito de componentes).
- Un colector cerrado es un colector compacto sin límite, no necesariamente conectado.
- Un colector abierto es un colector sin límite (no necesariamente conectado), sin componente compacto.
Por ejemplo, es un colector compacto, es un colector cerrado, y es un colector abierto, mientras que es ninguno de estos.
Computabilidad
La característica de Euler es un invariante homológico y, por lo tanto, se puede calcular de manera efectiva dada una estructura de CW , por lo que los 2-variedades se clasifican homológicamente.
Las clases características y los números característicos son los correspondientes invariantes homológicos generalizados, pero no clasifican las variedades en una dimensión superior (no son un conjunto completo de invariantes ): por ejemplo, las variedades tridimensionales orientables son paralelizables (teorema de Steenrod en topología de baja dimensión ) , por lo que todas las clases características se desvanecen. En dimensiones superiores, las clases de características no desaparecen en general y proporcionan datos útiles pero no completos.
Los colectores de dimensión 4 y superiores no se pueden clasificar eficazmente : dados dos n colectores () presentados como complejos CW o mangos , no existe un algoritmo para determinar si son isomorfos (homeomorfos, difeomorfos). Esto se debe a la imposibilidad de resolver el problema verbal para los grupos , o más precisamente, al problema de la trivialidad (dada una presentación finita para un grupo, ¿es el grupo trivial?). Cualquier presentación finita de un grupo puede realizarse como un complejo 2 y puede realizarse como el esqueleto 2 de una variedad 4 (o superior). Por lo tanto, ni siquiera se puede calcular el grupo fundamental de una variedad de alta dimensión dada, y mucho menos una clasificación.
Esta ineficacia es una razón fundamental por la que la teoría de la cirugía no clasifica variedades hasta el homeomorfismo. En cambio, para cualquier colector fijo M clasifica parescon N a colector yuna equivalencia de homotopía , dos de esos pares, y , considerándose equivalente si existe un homeomorfismo y una homotopia .
La curvatura positiva está restringida, la curvatura negativa es genérica
Muchos teoremas clásicos de la geometría de Riemann muestran que las variedades con curvatura positiva están restringidas, de manera más dramática el teorema de la esfera de 1/4 pellizcado . Por el contrario, la curvatura negativa es genérica: por ejemplo, cualquier variedad de dimensión admite una métrica con curvatura de Ricci negativa.
Este fenómeno ya es evidente para las superficies: hay una sola superficie cerrada orientable (y una sola no orientable) con curvatura positiva (la esfera y el plano proyectivo ), y también para la curvatura cero (el toro y la botella de Klein ), y todos las superficies de géneros superiores solo admiten métricas de curvatura negativa.
De manera similar para 3 variedades: de las 8 geometrías , todas excepto las hiperbólicas están bastante restringidas.
Resumen por dimensión
- Las dimensiones 0 y 1 son triviales.
- Los colectores de baja dimensión (dimensiones 2 y 3) admiten geometría.
- Las variedades de dimensión media (dimensión 4 diferenciable) exhiben fenómenos exóticos.
- Las variedades de alta dimensión (dimensión 5 y más diferenciable, dimensión 4 y más topológicamente) se clasifican por la teoría de la cirugía .
Así, las variedades diferenciables de la dimensión 4 son las más complicadas: no son geometrizables (como en la dimensión inferior), ni se clasifican por cirugía (como en la dimensión superior o topológicamente), y exhiben fenómenos inusuales, más sorprendentemente los incontables infinitos diferenciables exóticos. estructuras en R 4 . En particular, 4-variedades diferenciables es el único caso abierto que queda de la conjetura generalizada de Poincaré .
Uno puede adoptar un punto de vista de baja dimensión sobre las variedades de alta dimensión y preguntar "¿Qué variedades de alta dimensión son geometrizables?", Para varias nociones de geometrizable (cortado en piezas geometrizables como en 3 dimensiones, en variedades simplécticas, etc. ). En la dimensión 4 y sobre todo no todas las variedades son geometrizables, pero son una clase interesante.
Por el contrario, uno puede adoptar un punto de vista de alta dimensión sobre variedades de baja dimensión y preguntarse "¿Qué predice la cirugía para las variedades de baja dimensión?", Es decir, "Si la cirugía funcionara en dimensiones bajas, ¿cómo serían las variedades de baja dimensión?" " Luego, se puede comparar la teoría real de las variedades de baja dimensión con el análogo de baja dimensión de las variedades de alta dimensión, y ver si las variedades de baja dimensión se comportan "como cabría esperar": ¿de qué manera se comportan como variedades de alta dimensión? (pero por diferentes razones, oa través de diferentes pruebas) y ¿de qué manera son inusuales?
Dimensiones 0 y 1: trivial
Hay una variedad de dimensión 0 conectada única, a saber, el punto, y las variedades de dimensión 0 desconectadas son solo conjuntos discretos, clasificados por cardinalidad. No tienen geometría y su estudio es combinatorio.
Una variedad unidimensional conectada sin límite es el círculo (si es compacto) o la línea real (si no lo es). Sin embargo, los mapas de variedades unidimensionales son un área no trivial; vea abajo. [ cita requerida ]
Dimensiones 2 y 3: geometrizable
Toda variedad (superficie) bidimensional cerrada conectada admite una métrica de curvatura constante, según el teorema de uniformización . Hay 3 curvaturas de este tipo (positiva, cero y negativa). Este es un resultado clásico y, como se dijo, fácil (el teorema de uniformización completa es más sutil). El estudio de superficies está profundamente relacionado con el análisis complejo y la geometría algebraica , ya que toda superficie orientable puede considerarse una superficie de Riemann o una curva algebraica compleja .
Cada variedad tridimensional cerrada se puede cortar en piezas que son geometrizables, según la conjetura de la geometrización , y hay 8 geometrías de este tipo. Este es un resultado reciente y bastante difícil. La prueba (la Solución de la conjetura de Poincaré ) es analítica, no topológica.
Si bien la clasificación de superficies es clásica, los mapas de superficies son un área activa; vea abajo.
Dimensión 4: exótica
Las variedades de cuatro dimensiones son las más inusuales: no son geometrizables (como en las dimensiones inferiores) y la cirugía funciona topológicamente, pero no de manera diferenciable.
Dado que topológicamente , las variedades 4 se clasifican mediante cirugía, la cuestión de la clasificación diferenciable se formula en términos de "estructuras diferenciables": "cuáles 4 variedades (topológicas) admiten una estructura diferenciable, y sobre las que lo hacen, cuántas estructuras diferenciables hay ? "
Las cuatro variedades a menudo admiten muchas estructuras diferenciables inusuales, lo más sorprendente es que las incontables infinitas estructuras diferenciables exóticas en R 4 . De manera similar, 4-variedades diferenciables es el único caso abierto que queda de la conjetura generalizada de Poincaré .
Dimensión 5 y más: cirugía
En la dimensión 5 y superior (y 4 dimensiones topológicamente), las variedades se clasifican según la teoría de la cirugía .
La razón de la dimensión 5 es que el truco de Whitney funciona en la dimensión media en la dimensión 5 y más: dos discos de Whitney generalmente no se cruzan en la dimensión 5 y superior, por posición general (). En la dimensión 4, se pueden resolver las intersecciones de dos discos Whitney a través de los identificadores de Casson , que funciona topológicamente pero no de manera diferenciable; consulte Topología geométrica: dimensión para obtener detalles sobre la dimensión.
Más sutilmente, la dimensión 5 es el límite porque la dimensión media tiene una codimensión mayor que 2: cuando la codimensión es 2, uno encuentra la teoría del nudo , pero cuando la codimensión es mayor que 2, la teoría de la incrustación es manejable, a través del cálculo de functores. . Esto se discute más adelante.
Mapas entre colectores
Desde el punto de vista de la teoría de categorías , la clasificación de variedades es una pieza de comprensión de la categoría: está clasificando los objetos . La otra cuestión es clasificar mapas de variedades hasta varias equivalencias, y hay muchos resultados y cuestiones abiertas en esta área.
Para los mapas, la noción apropiada de "baja dimensión" es, para algunos propósitos, "automapas de variedades de baja dimensión", y para otros propósitos, "baja codimensión ".
Automapas de baja dimensión
- Unidimensional: homeomorfismos del círculo.
- 2D: grupo de clase de mapeo y grupo Torelli
Codimensión baja
De manera análoga a la clasificación de los colectores, en alta co dimensión (es decir, más de 2), incrustaciones se clasifican por la cirugía, mientras que en baja codimensión o en dimensión relativa , que son rígidos y geométrico, y en el medio (codimensión 2), uno tiene una teoría exótica difícil ( teoría del nudo ).
- En codimensión mayor que 2, las incrustaciones se clasifican según la teoría de la cirugía.
- En la codimensión 2, particularmente las incrustaciones de variedades unidimensionales en las tridimensionales, se tiene la teoría del nudo .
- En la codimensión 1, una incrustación de codimensión 1 separa un colector, y estos son manejables.
- En la codimensión 0, una codimensión 0 (propia) inmersión es un espacio de cobertura , que se clasifica algebraicamente, y estos se consideran más naturalmente como inmersiones.
- En dimensión relativa, una inmersión con dominio compacto es un haz de fibras (al igual que en la codimensión 0 = dimensión relativa 0), que se clasifican algebraicamente.
Altas dimensiones
Las clases de mapas particularmente interesantes desde el punto de vista topológico incluyen incrustaciones, inmersiones y sumergimientos.
Geométricamente interesantes son las isometrías y las inmersiones isométricas.
Los resultados fundamentales en incrustaciones e inmersiones incluyen:
- Teorema de inclusión de Whitney
- Teorema de inmersión de Whitney
- Teorema de incrustación de Nash
- Teorema de Smale-Hirsch
Las herramientas clave para estudiar estos mapas son:
- De Gromov h -principios
- Cálculo de functores
Se pueden clasificar mapas hasta varias equivalencias:
- homotopía
- cobordismo
- concordancia
- isotopía
Matthias Kreck ha clasificado los difeomorfismos hasta el cobordismo :
- M. Kreck, Bordismo de difeomorfismos Bull. Amer. Matemáticas. Soc. Volumen 82, Número 5 (1976), 759-761.
- M. Kreck, Bordismo de difeomorfismos y temas relacionados, Springer Lect. Notas 1069 (1984)
Ver también
- La clasificación de Berger de grupos de holonomía .