Teorema de rotación de Euler
En geometría , el teorema de la rotación de Euler establece que, en el espacio tridimensional , cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido tal que un punto en el cuerpo rígido permanece fijo, es equivalente a una sola rotación alrededor de algún eje que pasa por el punto fijo . También significa que la composición de dos rotaciones también es una rotación. Por lo tanto, el conjunto de rotaciones tiene una estructura de grupo, conocida como grupo de rotación .
El teorema lleva el nombre de Leonhard Euler , quien lo demostró en 1775 mediante geometría esférica . El eje de rotación se conoce como eje de Euler , típicamente representado por un vector unitario ê . Su producto por el ángulo de rotación se conoce como vector eje-ángulo . La extensión del teorema a la cinemática produce el concepto de eje de rotación instantáneo , una línea de puntos fijos.
En términos de álgebra lineal, el teorema establece que, en el espacio 3D, cualesquiera dos sistemas de coordenadas cartesianos con un origen común están relacionados por una rotación alrededor de algún eje fijo. Esto también significa que el producto de dos matrices de rotación es nuevamente una matriz de rotación y que para una matriz de rotación sin identidad , un valor propio es 1 y los otros dos son ambos complejos, o ambos iguales a -1. El vector propio correspondiente a este valor propio es el eje de rotación que conecta los dos sistemas.
Teorema. Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur, semper assignari potest diámetro, cuius directio in situ translato conueniat cum situ initiali.
Cuando una esfera se mueve alrededor de su centro, siempre es posible encontrar un diámetro cuya dirección en la posición desplazada sea la misma que en la posición inicial.
La demostración original de Euler se hizo usando geometría esférica y, por lo tanto, siempre que habla de triángulos, deben entenderse como triángulos esféricos .
