En la mecánica clásica , las leyes del movimiento de Euler son ecuaciones de movimiento que extienden las leyes del movimiento de Newton para el movimiento de una partícula puntual a un cuerpo rígido . [1] Fueron formulados por Leonhard Euler unos 50 años después de que Isaac Newton formulara sus leyes.
Descripción general
Primera ley de Euler
La primera ley de Euler establece que el momento lineal de un cuerpo, p (también denominado G ) es igual al producto de la masa del cuerpo my la velocidad de su centro de masa v cm : [1] [2] [3]
- .
Las fuerzas internas entre las partículas que forman un cuerpo no contribuyen a cambiar el momento total del cuerpo, ya que existe una fuerza igual y opuesta que no produce un efecto neto. [4] La ley también se establece como: [4]
- .
donde a cm =d v cm/dtes la aceleración del centro de masa y F = d p/dtes la fuerza total aplicada sobre el cuerpo. Esta es solo la derivada en el tiempo de la ecuación anterior ( m es una constante).
Segunda ley de Euler
La segunda ley de Euler establece que la tasa de cambio del momento angular L (a veces denotado H ) alrededor de un punto que está fijo en un marco de referencia inercial (a menudo el centro de masa del cuerpo), es igual a la suma de los momentos de fuerza externos ( pares ) que actúan sobre ese cuerpo M (también denotado τ o Γ ) sobre ese punto: [1] [2] [3]
- .
Tenga en cuenta que la fórmula anterior es válida solo si tanto M como L se calculan con respecto a un marco inercial fijo o un marco paralelo al marco inercial pero fijo en el centro de masa. Para cuerpos rígidos que se trasladan y giran en solo dos dimensiones, esto se puede expresar como: [5]
- ,
donde r cm es el vector de posición del centro de masa con respecto al punto alrededor del cual se suman los momentos, α es la aceleración angular del cuerpo alrededor de su centro de masa e I es el momento de inercia del cuerpo alrededor de su centro de masa. Véanse también las ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos) .
Explicación y derivación
La distribución de las fuerzas internas en un cuerpo deformable no es necesariamente igual en todas partes, es decir, las tensiones varían de un punto a otro. Esta variación de fuerzas internas en todo el cuerpo está gobernada por la segunda ley de Newton de conservación del momento lineal y momento angular , que para su uso más simple se aplican a una partícula de masa pero se extienden en la mecánica continua a un cuerpo de masa distribuida continuamente. Para los cuerpos continuos, estas leyes se denominan leyes de movimiento de Euler . Si un cuerpo se representa como un conjunto de partículas discretas, cada una de las cuales se rige por las leyes del movimiento de Newton, entonces las ecuaciones de Euler pueden derivarse de las leyes de Newton. Sin embargo, las ecuaciones de Euler pueden tomarse como axiomas que describen las leyes del movimiento para cuerpos extendidos, independientemente de cualquier distribución de partículas. [6]
La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo con masa m , densidad de masa ρ y volumen V , es la integral de volumen integrada sobre el volumen del cuerpo:
donde b es la fuerza que actúa sobre el cuerpo por unidad de masa ( dimensiones de aceleración, engañosamente llamadas "fuerza del cuerpo"), y dm = ρ dV es un elemento de masa infinitesimal del cuerpo.
Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo conducen a los momentos correspondientes ( pares ) de esas fuerzas en relación con un punto dado. Por tanto, el par de torsión total aplicado M alrededor del origen viene dado por
donde M B y M C indican respectivamente los momentos causados por el cuerpo y las fuerzas de contacto.
Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) que actúan sobre el cuerpo se puede dar como la suma de una integral de volumen y superficie :
donde t = t ( n ) se llama la tracción superficie , integrado sobre la superficie del cuerpo, a su vez, n denota un vector unidad normal y dirigida hacia el exterior a la superficie S .
Sea el sistema de coordenadas ( x 1 , x 2 , x 3 ) un marco de referencia inercial , r el vector de posición de una partícula puntual en el cuerpo continuo con respecto al origen del sistema de coordenadas, y v = d r/dt ser el vector de velocidad de ese punto.
El primer axioma o ley de Euler (ley de equilibrio del momento lineal o equilibrio de fuerzas) establece que en un marco inercial la tasa de cambio del momento lineal p de una porción arbitraria de un cuerpo continuo es igual a la fuerza total aplicada F que actúa sobre esa porción, y se expresa como
El segundo axioma o ley de Euler (ley de equilibrio del momento angular o equilibrio de momentos de torsión) establece que en un marco inercial la tasa de cambio de momento angular L de una porción arbitraria de un cuerpo continuo es igual al par total aplicado M que actúa sobre esa porción, y se expresa como
Dónde es la velocidad, el volumen, y los derivados de p y L son derivados de materiales .
Ver también
- Lista de temas que llevan el nombre de Leonhard Euler
- Leyes de Euler de las rotaciones de cuerpos rígidos
- Ecuaciones de movimiento de Newton-Euler con 6 componentes, combinando las dos leyes de Euler en una sola ecuación.
Referencias
- ↑ a b c McGill y King (1995). Ingeniería mecánica, una introducción a la dinámica (3ª ed.). Compañía Editorial PWS. ISBN 0-534-93399-8.
- ^ a b "Leyes del movimiento de Euler" . Consultado el 30 de marzo de 2009 .
- ^ a b Rao, Anil Vithala (2006). Dinámica de partículas y cuerpos rígidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 355. ISBN 978-0-521-85811-3.
- ^ a b Gray, Gary L .; Costanzo, Plesha (2010). Ingeniería Mecánica: Dinámica . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-282871-9.
- ^ Ruina, Andy; Rudra Pratap (2002). Introducción a la estática y la dinámica (PDF) . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 771 . Consultado el 18 de octubre de 2011 .
- ^ Lubliner, Jacob (2008). Teoría de la plasticidad (PDF) (Ed. Revisada). Publicaciones de Dover. págs. 27-28. ISBN 978-0-486-46290-5. Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2010.