En matemáticas y mecánica , la fórmula de Euler-Rodrigues describe la rotación de un vector en tres dimensiones. Se basa en la fórmula de rotación de Rodrigues , pero utiliza una parametrización diferente.
La rotación se describe mediante cuatro parámetros de Euler debidos a Leonhard Euler . La fórmula de Rodrigues (llamada así por Olinde Rodrigues ), un método para calcular la posición de un punto girado, se usa en algunas aplicaciones de software, como simuladores de vuelo y juegos de computadora .
Definición
Una rotación sobre el origen está representada por cuatro números reales, a , b , c , d tales que
Cuando se aplica la rotación, un punto en la posición x → gira a su nueva posición
Formulación de vectores
El parámetro una puede ser llamado el escalar parámetro, mientras omega → = ( b, c, d ) el vector de parámetros. En notación vectorial estándar, la fórmula de rotación de Rodrigues toma la forma compacta
Simetría
Los parámetros ( a , b , c , d ) y (- a , - b , - c , - d ) describen la misma rotación. Aparte de esta simetría, cada conjunto de cuatro parámetros describe una rotación única en el espacio tridimensional.
Composición de rotaciones
La composición de dos rotaciones es en sí misma una rotación. Sean ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) y ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) los parámetros de Euler de dos rotaciones. Los parámetros para la rotación compuesta (rotación 2 después de la rotación 1) son los siguientes:
Es sencillo, aunque tedioso, comprobar que a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 . (Esta es esencialmente la identidad de cuatro cuadrados de Euler , también utilizada por Rodrigues).
Ángulo de rotación y eje de rotación
Cualquier rotación central en tres dimensiones está determinada únicamente por su eje de rotación (representado por un vector unitario k → = ( k x , k y , k z ) ) y el ángulo de rotación φ . Los parámetros de Euler para esta rotación se calculan de la siguiente manera:
Tenga en cuenta que si φ aumenta en una rotación completa de 360 grados, los argumentos de seno y coseno solo aumentan en 180 grados. Los parámetros resultantes son opuestos a los valores originales, (- a , - b , - c , - d ) ; representan la misma rotación.
En particular, la transformación de identidad (rotación nula, φ = 0 ) corresponde a los valores de los parámetros ( a , b , c , d ) = (± 1, 0, 0, 0) . Las rotaciones de 180 grados alrededor de cualquier eje resultado en un = 0 .
Conexión con cuaterniones
Los parámetros de Euler pueden verse como los coeficientes de un cuaternión ; el parámetro escalar a es la parte real, los parámetros vectoriales b , c , d son las partes imaginarias. Así tenemos el cuaternión
que es un cuaternión de unidad de longitud (o versor ) ya que
Más importante aún, las ecuaciones anteriores para la composición de rotaciones son precisamente las ecuaciones para la multiplicación de cuaterniones. En otras palabras, el grupo de cuaterniones unitarios con multiplicación, módulo el signo negativo, es isomorfo al grupo de rotaciones con composición.
Conexión con matrices de giro SU (2)
El grupo de Lie SU (2) se puede utilizar para representar rotaciones tridimensionales en matrices 2 × 2 . La matriz SU (2) correspondiente a una rotación, en términos de sus parámetros de Euler, es
Alternativamente, esto se puede escribir como la suma
donde σ i son las matrices de giro de Pauli . Así, los parámetros de Euler son los coeficientes para la representación de una rotación tridimensional en SU (2).
Ver también
Referencias
- Cartan, Élie (1981). La teoría de los espinores . Dover. ISBN 0-486-64070-1.
- Hamilton, WR (1899). Elementos de cuaterniones . Prensa de la Universidad de Cambridge.
- Haug, EJ (1984). Análisis asistido por computadora y optimización de la dinámica de sistemas mecánicos . Springer-Verlag.
- Garza, Eduardo; Pacheco Quintanilla, ME (junio de 2011). "Benjamin Olinde Rodrigues, matemático y filántropo, y su influencia en la Física Mexicana" (PDF) . Revista Mexicana de Física (en español): 109-113. Archivado desde el original (pdf) el 23 de abril de 2012.
- Shuster, Malcolm D. (1993). "Una encuesta de representaciones de actitudes" (pdf) . Revista de Ciencias Astronáuticas . 41 (4): 439–517.