En matemáticas , el concepto de espinor como especializado en tres dimensiones puede tratarse mediante las nociones tradicionales de producto escalar y producto cruzado . Esto es parte de la discusión algebraica detallada del grupo de rotación SO (3) .
Formulación
Élie Cartan formuló la asociación de un espinor con una matriz hermitiana compleja de 2 × 2 . [1]
En detalle, dado un vector x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) de números reales (o complejos), se puede asociar la matriz compleja
En física, esto a menudo se escribe como un producto escalar. , dónde es la forma vectorial de las matrices de Pauli . Las matrices de esta forma tienen las siguientes propiedades, que las relacionan intrínsecamente con la geometría del espacio tridimensional:
- det X = - (longitud x ) 2 , donde "det" denota el determinante .
- X 2 = (longitud x ) 2 I , donde I es la matriz identidad.
- [1] : 43
- donde Z es la matriz asociada al producto cruzado z = x × y .
- Si u es un vector unitario, entonces - UXU es la matriz asociada al vector obtenido de x por reflexión en el plano ortogonal a u .
- Es un hecho elemental del álgebra lineal que cualquier rotación en tres espacios se factoriza como una composición de dos reflexiones. (De manera similar, cualquier orientación que invierta la transformación ortogonal es una reflexión o el producto de tres reflexiones). Por lo tanto, si R es una rotación que se descompone como la reflexión en el plano perpendicular a un vector unitario u 1 seguida por la reflexión en el plano perpendicular a u 2 , entonces la matriz U 2 U 1 XU 1 U 2 representa la rotación del vector x a través de R .
Habiendo codificado efectivamente toda la geometría lineal rotacional del espacio tridimensional en un conjunto de matrices complejas de 2 × 2, es natural preguntarse qué papel juegan las matrices de 2 × 1 (es decir, los vectores columna ) , si es que tienen alguno . Provisionalmente, un espinor es un vector columna
- con entradas complejas ξ 1 y ξ 2 .
Evidentemente, el espacio de los espinores se ve afectado por matrices complejas de 2 × 2. Además, el producto de dos reflexiones en un par dado de vectores unitarios define una matriz de 2 × 2 cuya acción sobre los vectores euclidianos es una rotación, por lo que hay una acción de rotaciones sobre los espinores. Sin embargo, hay una advertencia importante: la factorización de una rotación no es única. Claramente, si X → RXR −1 es una representación de una rotación, entonces reemplazar R por - R producirá la misma rotación. De hecho, se puede demostrar fácilmente que esta es la única ambigüedad que surge. Por tanto, la acción de una rotación sobre un espinor siempre tiene un valor doble .
Hubo algunos precursores del trabajo de Cartan con matrices complejas de 2 × 2: Wolfgang Pauli había utilizado estas matrices con tanta intensidad que los elementos de cierta base de un subespacio de cuatro dimensiones se denominan matrices de Pauli σ i , de modo que la matriz hermitiana se escribe como un Vector de Pauli [2] A mediados del siglo XIX, las operaciones algebraicas de este álgebra de cuatro dimensiones complejas se estudiaron como biquaternions .
Según el libro de Michael Stone y Paul Goldbar, Mathematics for Physics, "Las representaciones de espín fueron descubiertas por ´Elie Cartan en 1913, algunos años antes de que fueran necesarias en física", contradiciendo así la afirmación anterior sobre el precursor de Cartan trabajo como hecho por Pauli.
Vectores isotrópicos
Los espinores se pueden construir directamente a partir de vectores isotrópicos en 3 espacios sin utilizar la construcción cuaterniónica. Para motivar esta introducción de espinores, suponga que X es una matriz que representa un vector x en el espacio tridimensional complejo. Suponga además que x es isotrópico: es decir,
Entonces, dado que el determinante de X es cero, existe una proporcionalidad entre sus filas o columnas. Por lo tanto, la matriz puede escribirse como un producto externo de dos 2 vectores complejos:
Esta factorización produce un sistema de ecuaciones sobredeterminado en las coordenadas del vector x :
( 1 )
sujeto a la restricción
( 2 )
Este sistema admite las soluciones
( 3 )
Cualquiera de las opciones de signo resuelve el sistema ( 1 ). Por tanto, un espinor puede verse como un vector isotrópico, junto con una elección de signo. Tenga en cuenta que debido a la ramificación logarítmica , es imposible elegir un signo de manera consistente de modo que ( 3 ) varíe continuamente a lo largo de una rotación completa entre las coordenadas x . A pesar de esta ambigüedad de la representación de una rotación en un espinor, las rotaciones actúan inequívocamente por una transformación lineal fraccionaria en la relación ξ 1 : ξ 2 ya que una elección de signo en la solución ( 3 ) fuerza la elección del segundo firmar. En particular, el espacio de espinores es una representación proyectiva del grupo ortogonal.
Como consecuencia de este punto de vista, los espinores pueden considerarse como una especie de "raíz cuadrada" de vectores isotrópicos. Específicamente, presentando la matriz
el sistema ( 1 ) es equivalente a resolver X = 2 ξ t ξ C para el espino indeterminado ξ .
A fortiori , si ahora se invierten los roles de ξ y x , la forma Q ( ξ ) = x define, para cada espinor ξ , un vector x cuadráticamente en las componentes de ξ . Si esta forma cuadrática está polarizada , determina una forma bilineal con valores vectoriales en los espinores Q ( μ , ξ ). Esta forma bilineal luego se transforma tensorialmente bajo una reflexión o una rotación.
Realidad
Las consideraciones anteriores se aplican igualmente bien ya sea que el espacio euclidiano original en consideración sea real o complejo. Sin embargo, cuando el espacio es real, los espinores poseen alguna estructura adicional que a su vez facilita una descripción completa de la representación del grupo de rotación. Supongamos, por simplicidad, que el producto interior en 3 espacios tiene una firma definida positiva:
( 4 )
Con esta convención, los vectores reales corresponden a matrices hermitianas. Además, las rotaciones reales que conservan la forma ( 4 ) corresponden (en el sentido de doble valor) a matrices unitarias del determinante uno. En términos modernos, esto presenta el grupo unitario especial SU (2) como una doble cobertura de SO (3). Como consecuencia, el producto spinor hermitiano
( 5 )
se conserva en todas las rotaciones y, por tanto, es canónico.
Sin embargo, si la firma del producto interno en el espacio tridimensional es indefinida (es decir, no degenerada, pero tampoco definida positiva), entonces el análisis anterior debe ajustarse para reflejar esto. Supongamos entonces que la forma de longitud en el espacio tridimensional viene dada por:
( 4 ′ )
Luego procede la construcción de espinores de las secciones anteriores, pero con x 2 reemplazando ix 2 en todas las fórmulas. Con esta nueva convención, la matriz asociada a un vector real ( x 1 , x 2 , x 3 ) es en sí misma real:
- .
La forma ( 5 ) ya no es invariante bajo una rotación real (o inversión), ya que el grupo que se estabiliza ( 4 ′ ) es ahora un grupo de Lorentz O (2,1). En cambio, la forma antihermitiana
define la noción apropiada de producto interno para espinores en esta firma métrica. Esta forma es invariante bajo transformaciones en el componente conectado de la identidad de O (2,1).
En cualquier caso, la forma cuartica
es completamente invariante en O (3) (u O (2,1), respectivamente), donde Q es la forma bilineal con valores vectoriales descrita en la sección anterior. El hecho de que se trate de una invariante cuártica, en lugar de una cuadrática, tiene una consecuencia importante. Si se limita la atención al grupo de transformaciones ortogonales especiales, entonces es posible extraer sin ambigüedades la raíz cuadrada de esta forma y obtener una identificación de los espinores con sus duales. En el lenguaje de la teoría de la representación, esto implica que solo hay una representación de espín irreductible de SO (3) (o SO (2,1)) hasta el isomorfismo. Sin embargo, si también se permiten inversiones (por ejemplo, reflexiones en un plano), entonces ya no es posible identificar espinores con sus duales debido a un cambio de signo en la aplicación de una reflexión. Por lo tanto, hay dos representaciones de espín irreductibles de O (3) (o O (2,1)), a veces llamadas representaciones de clavijas .
Estructuras de la realidad
Las diferencias entre estas dos firmas pueden codificarse mediante la noción de una estructura de realidad en el espacio de espinores. De manera informal, esta es una receta para tomar un conjugado complejo de un espinor, pero de tal manera que este puede no corresponder al conjugado habitual según los componentes de un espinor. Específicamente, una estructura de realidad se especifica mediante una matriz K hermitiana de 2 × 2 cuyo producto consigo mismo es la matriz identidad: K 2 = Id . El conjugado de un espinor con respecto a una estructura de realidad K se define por
La forma particular del producto interno en vectores (por ejemplo, ( 4 ) o ( 4 ′ )) determina una estructura de realidad (hasta un factor de -1) al requerir
- , siempre que X sea una matriz asociada a un vector real.
Por tanto, K = i C es la estructura de realidad en la firma euclidiana ( 4 ), y K = Id es la de la firma ( 4 ′ ). Con una estructura de realidad en la mano, se obtienen los siguientes resultados:
- X es la matriz asociada a un vector real si, y solo si,.
- Si μ y ξ es un espinor, entonces el producto interno
- determina una forma hermitiana que es invariante bajo las transformaciones ortogonales adecuadas.
Ejemplos en física
Espinores de las matrices de espín de Pauli
A menudo, el primer ejemplo de espinores que encuentra un estudiante de física son los espinores 2 × 1 utilizados en la teoría del espín electrónico de Pauli. Las matrices de Pauli son un vector de tres matrices de 2 × 2 que se utilizan como operadores de espín .
Dado un vector unitario en 3 dimensiones, por ejemplo ( a , b , c ), se toma un producto escalar con las matrices de espín de Pauli para obtener una matriz de espín para espín en la dirección del vector unitario.
Los vectores propios de esa matriz de espín son los espinores para espín-1/2 orientados en la dirección dada por el vector.
Ejemplo: u = (0.8, -0.6, 0) es un vector unitario. Salpicar esto con las matrices de giro de Pauli da la matriz:
Los vectores propios se pueden encontrar mediante los métodos habituales del álgebra lineal , pero un truco conveniente es notar que una matriz de espín de Pauli es una matriz involutiva , es decir, el cuadrado de la matriz anterior es la matriz identidad .
Por tanto, una solución (matricial) al problema de vectores propios con valores propios de ± 1 es simplemente 1 ± S u . Es decir,
A continuación, se puede elegir cualquiera de las columnas de la matriz de vectores propios como solución vectorial, siempre que la columna elegida no sea cero. Tomando la primera columna de lo anterior, las soluciones de vectores propios para los dos valores propios son:
El truco utilizado para encontrar los autovectores está relacionado con el concepto de ideales , es decir, los autovectores matriciales (1 ± S u ) / 2 son operadores de proyección o idempotentes y por lo tanto cada uno genera un ideal en el álgebra de Pauli. El mismo truco funciona en cualquier álgebra de Clifford , en particular el álgebra de Dirac que se analiza a continuación. Estos operadores de proyección también se ven en la teoría de matrices de densidad, donde son ejemplos de matrices de densidad puras.
De manera más general, el operador de proyección para el giro en la dirección ( a , b , c ) viene dado por
y cualquier columna distinta de cero se puede tomar como operador de proyección. Si bien las dos columnas parecen diferentes, se puede usar a 2 + b 2 + c 2 = 1 para mostrar que son múltiplos (posiblemente cero) del mismo espinor.
Observaciones generales
En física atómica y mecánica cuántica , la propiedad del espín juega un papel importante. Además de sus otras propiedades, todas las partículas poseen una propiedad no clásica, es decir, que no tiene correspondencia en absoluto en la física convencional, a saber, el espín , que es una especie de momento angular intrínseco . En la representación de la posición, en lugar de una función de onda sin espín, ψ = ψ ( r ), se tiene con espín: ψ = ψ ( r , σ ), donde σ toma el siguiente conjunto discreto de valores:
- .
El operador de momento angular total ,, de una partícula corresponde a la suma del momento angular orbital (es decir, solo se permiten números enteros) y la parte intrínseca , el giro . Se distinguen bosones (S = 0, ± 1, ± 2, ...) y fermiones (S = ± 1/2, ± 3/2, ± 5/2, ...).
Ver también
- Esfera de Bloch
Referencias
- ↑ a b Cartan, Élie (1981) [1938], The Theory of Spinors , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-64070-9, MR 0631850 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- ^ El vector de Pauli es un dispositivo formal. Puede considerarse como un elemento de M 2 (ℂ) ⊗ ℝ 3 , donde el espacio del producto tensorial está dotado de un mapeo ⋅: ℝ 3 × M 2 (ℂ) ⊗ ℝ 3 → M 2 (ℂ) .