En matemáticas , la identidad de cuatro cuadrados de Euler dice que el producto de dos números, cada uno de los cuales es una suma de cuatro cuadrados , es en sí mismo una suma de cuatro cuadrados.
Para cualquier par de cuádruples de un anillo conmutativo , las siguientes expresiones son iguales:
Euler escribió sobre esta identidad en una carta fechada el 4 de mayo de 1748 a Goldbach [1] [2] (pero utilizó una convención de signos diferente a la anterior). Se puede verificar con álgebra elemental .
Lagrange utilizó la identidad para demostrar su teorema de los cuatro cuadrados . Más específicamente, implica que es suficiente demostrar el teorema para números primos , después de lo cual sigue el teorema más general. La convención de signos utilizada anteriormente corresponde a los signos obtenidos al multiplicar dos cuaterniones. Se pueden obtener otras convenciones de signos cambiando cualquier a , y / o cualquier a .
Si el y son números reales , la identidad expresa el hecho de que el valor absoluto del producto de dos cuaterniones es igual al producto de sus valores absolutos, de la misma manera que lo hace la identidad de dos cuadrados de Brahmagupta-Fibonacci para números complejos . Esta propiedad es la característica definitiva de las álgebras de composición .
El teorema de Hurwitz establece que una identidad de forma,
donde el son funciones bilineales de la y solo es posible para n = 1, 2, 4 u 8.
Prueba de identidad mediante cuaterniones
Dejar y ser un par de cuaterniones. Sus conjugados de cuaterniones son y . Luego
y
- .
El producto de estos dos es , dónde es un número real, por lo que puede conmutar con el cuaternión , cediendo
- .
No se necesitan paréntesis arriba, porque los cuaterniones se asocian . El conjugado de un producto es igual al producto conmutado de los conjugados de los factores del producto, entonces
dónde es el producto de Hamilton de y :
Luego
y
(Si dónde es la parte escalar y es la parte del vector, entonces entonces )