método de Euler

En matemáticas y ciencia computacional , el método de Euler (también llamado método de Euler directo ) es un procedimiento numérico de primer orden para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con un valor inicial dado . Es el método explícito más básico para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y es el método de Runge-Kutta más simple . El método de Euler lleva el nombre de Leonhard Euler , quien lo trató en su libro Institutionum calculi integralis (publicado entre 1768 y 1870). ^[1]

El método de Euler es un método de primer orden, lo que significa que el error local (error por paso) es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global (error en un momento dado) es proporcional al tamaño del paso. El método de Euler a menudo sirve como base para construir métodos más complejos, por ejemplo, el método predictor-corrector .

Considere el problema de calcular la forma de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una ecuación diferencial dada. Aquí, una ecuación diferencial se puede considerar como una fórmula mediante la cual se puede calcular la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la curva, una vez que se ha calculado la posición de ese punto.

La idea es que, si bien inicialmente se desconoce la curva, se conoce su punto de partida, que denotamos por (ver la imagen en la parte superior derecha). Luego, a partir de la ecuación diferencial, se puede calcular la pendiente de la curva en y, por tanto, la recta tangente.${\ estilo de visualización A_ {0},}$${\ estilo de visualización A_ {0}}$

Da un pequeño paso a lo largo de esa línea tangente hasta un punto A lo largo de este pequeño paso, la pendiente no cambia demasiado, por lo que estará cerca de la curva. Si pretendemos que todavía está en la curva, se puede usar el mismo razonamiento que para el punto anterior. Después de varios pasos, se calcula una curva poligonal . En general, esta curva no diverge demasiado de la curva desconocida original, y el error entre las dos curvas puede reducirse si el tamaño del paso es lo suficientemente pequeño y el intervalo de cálculo es finito: ^[2]${\ estilo de visualización A_ {1}.}$${\ estilo de visualización A_ {1}}$${\ estilo de visualización A_ {1}}$${\ estilo de visualización A_ {0}}$ ${\displaystyle A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\puntos}$

Elija un valor para el tamaño de cada paso y conjunto . Ahora, un paso del método de Euler de a es: ^[3]${\ estilo de visualización h}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$${\ estilo de visualización t_ {n}}$${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$

Ilustración del método de Euler. La curva desconocida está en azul y su aproximación poligonal está en rojo.

Ilustración de integración numérica para la ecuación Azul es el método de Euler; verde, el método del punto medio ; rojo, la solución exacta, el tamaño del paso es h  = 1.0.${\displaystyle y'=y,y(0)=1.}$${\displaystyle y=e^{t}.}$

La misma ilustración para h  = 0.25.

Solución de calculado con el método de Euler con tamaño de paso (cuadrados azules) y (círculos rojos). La curva negra muestra la solución exacta.${\ estilo de visualización y'=-2.3y}$${\ estilo de visualización h = 1}$${\ estilo de visualización h = 0,7}$

El disco rosa muestra la región de estabilidad del método de Euler.