En el análisis numérico , una rama de las matemáticas aplicadas , el método del punto medio es un método de un paso para resolver numéricamente la ecuación diferencial ,
Ilustración del método del punto medio asumiendo que
es igual al valor exacto
El método del punto medio calcula
de modo que la cuerda roja sea aproximadamente paralela a la línea tangente en el punto medio (la línea verde).
- .
El método explícito del punto medio viene dado por la fórmula
el método implícito del punto medio por
por Aquí, es el tamaño del paso - un pequeño número positivo, y es el valor aproximado calculado de El método de punto medio explícito a veces también se conoce como el método de Euler modificado , [1] el método implícito es el método de colocación más simple y, aplicado a la dinámica hamiltoniana, un integrador simpléctico . Tenga en cuenta que el método de Euler modificado puede referirse al método de Heun , [2] para mayor claridad ver Lista de métodos de Runge-Kutta .
El nombre del método proviene del hecho de que en la fórmula anterior, la función dando la pendiente de la solución se evalúa en el punto medio entre en el que el valor de es conocido y en el que el valor de necesita ser encontrado.
Una interpretación geométrica puede brindar una mejor comprensión intuitiva del método (ver figura a la derecha). En el método básico de Euler , la tangente de la curva en se calcula usando . El próximo valor se encuentra donde la tangente se cruza con la línea vertical . Sin embargo, si la segunda derivada solo es positiva entre y , o solo negativo (como en el diagrama), la curva se desviará cada vez más de la tangente, lo que conducirá a errores mayores a medida que aumenta. El diagrama ilustra que la tangente en el punto medio (segmento superior de la línea verde) probablemente daría una aproximación más precisa de la curva en ese intervalo. Sin embargo, esta tangente del punto medio no se pudo calcular con precisión porque no conocemos la curva (eso es lo que se debe calcular). En cambio, esta tangente se estima utilizando el método de Euler original para estimar el valor de en el punto medio, luego calculando la pendiente de la tangente con . Finalmente, la tangente mejorada se usa para calcular el valor de de . Este último paso está representado por la cuerda roja en el diagrama. Tenga en cuenta que la cuerda roja no es exactamente paralela al segmento verde (la verdadera tangente), debido al error en la estimación del valor de en el punto medio.
El error local en cada paso del método del punto medio es de orden , dando un error de orden global . Por lo tanto, aunque es más computacionalmente intensivo que el método de Euler, el error del método del punto medio generalmente disminuye más rápido a medida que.
Los métodos son ejemplos de una clase de métodos de orden superior conocidos como métodos de Runge-Kutta .
Ilustración de integración numérica para la ecuación
Azul: el
método de Euler , verde: el método del punto medio, rojo: la solución exacta,
El tamaño del paso es
La misma ilustración para
Se ve que el método del punto medio converge más rápido que el método de Euler.
El método del punto medio es un refinamiento del método de Euler
y se deriva de manera similar. La clave para derivar el método de Euler es la igualdad aproximada
que se obtiene de la fórmula de la pendiente
y teniendo en cuenta que
Para los métodos de punto medio, se reemplaza (3) con el más preciso
cuando en lugar de (2) encontramos
No se puede usar esta ecuación para encontrar como uno no sabe a . La solución es entonces usar una expansión en serie de Taylor exactamente como si se usara el método de Euler para resolver:
que, cuando está enchufado (4), nos da
y el método explícito del punto medio (1e).
El método implícito (1i) se obtiene aproximando el valor en el semitono por el punto medio del segmento de línea desde a
y por lo tanto
Insertar la aproximación por resultados en el método implícito de Runge-Kutta
que contiene el método de Euler implícito con tamaño de paso como su primera parte.
Debido a la simetría temporal del método implícito, todos los términos de grado par en del error local cancelar, de modo que el error local sea automáticamente de orden . Reemplazando lo implícito con el método de Euler explícito en la determinación de resulta de nuevo en el método explícito del punto medio.