estrella eutáctica
En geometría euclidiana , una estrella eutáctica es una figura geométrica en un espacio euclidiano . Una estrella es una figura que consta de cualquier número de pares opuestos de vectores (o brazos) que salen de un origen central. Una estrella es eutáctica si es la proyección ortogonal de más y menos el conjunto de vectores de base estándar (es decir, los vértices de un politopo cruzado ) desde un espacio de dimensiones superiores a un subespacio . Schläfli (1901 , p. 134) llamó a estas estrellas "eutácticas", que significa "bien situadas" o "bien dispuestas" , porque, para un múltiplo escalar común, sus vectores son proyecciones de base ortonormal . [1]
Una estrella se define aquí como un conjunto de 2 s vectores A = ± a 1 , ..., ± a s que parten de un origen particular en un espacio euclidiano de dimensión n ≤ s . Una estrella es eutáctica si los a i son las proyecciones sobre n dimensiones de un conjunto de vectores iguales mutuamente perpendiculares b 1 , ..., b s que surgen de un origen particular en el espacio euclidiano s -dimensional. [2] La configuración de 2 s vectores en el sEl espacio bidimensional B = ± b 1 , ... , ± b s se conoce como cruz . Dadas estas definiciones, una estrella eutáctica es, en pocas palabras, una estrella producida por la proyección ortogonal de una cruz.
Una definición equivalente, mencionada por primera vez por Schläfli , [3] estipula que una estrella es eutáctica si existe una constante ζ tal que
para todo vector v . La existencia de tal constante requiere que la suma de los cuadrados de las proyecciones ortogonales de A sobre una línea sea igual en todas las direcciones. [4] En general,
Una estrella eutáctica normalizada es una cruz proyectada compuesta de vectores unitarios . [2] [5] Las estrellas eutácticas a menudo se consideran en n = 3 dimensiones debido a su conexión con el estudio de los poliedros regulares .
donde a j forman cualquier colección de s vectores en el espacio euclidiano n -dimensional. El teorema principal de Hadwiger establece que los vectores ± a 1 , ..., ± a s forman una estrella eutáctica si y sólo si existe una constante ζ tal que T x = ζ x para todo x . [2] [6] Los vectores forman una estrella eutáctica normalizada precisamente cuando T es el operador de identidad , cuando ζ = 1.
