Grupo de homotopía
En matemáticas , los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar espacios topológicos . El primer y más simple grupo de homotopía es el grupo fundamental , que registra información sobre bucles en un espacio . Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o agujeros , de un espacio topológico.
Para definir el n -ésimo grupo de homotopía, los mapas que preservan el punto base desde una esfera n- dimensional (con punto base ) en un espacio dado (con punto base) se recopilan en clases de equivalencia , llamadas clases de homotopía . Dos mapeos son homotópicos si uno puede deformarse continuamente en el otro. Estas clases de homotopía forman un grupo , llamado n -ésimo grupo de homotopía , del espacio dado X con punto base. Los espacios topológicos con diferentes grupos de homotopía nunca son equivalentes ( homeomorfos ), pero los espacios topológicos que no son homeomorfos pueden tener los mismos grupos de homotopía.
En la matemática moderna es común para estudiar una categoría por asociar a cada objeto de esta categoría de un objeto simple que todavía conserva suficiente información sobre el objeto de interés. Los grupos de homotopía son una forma de asociar grupos a espacios topológicos.
Ese vínculo entre topología y grupos permite a los matemáticos aplicar conocimientos de la teoría de grupos a la topología . Por ejemplo, si dos objetos topológicos tienen diferentes grupos de homotopía, no pueden tener la misma estructura topológica, un hecho que puede ser difícil de probar utilizando sólo medios topológicos. Por ejemplo, el toro es diferente de la esfera : el toro tiene un "agujero"; la esfera no lo hace. Sin embargo, dado que la continuidad (la noción básica de topología) solo se ocupa de la estructura local, puede ser difícil definir formalmente la diferencia global obvia. Los grupos de homotopía, sin embargo, llevan información sobre la estructura global.
En cuanto al ejemplo: el primer grupo de homotopía del toro es
En la n -esfera elegimos un punto base a . Para un espacio X con punto base b , definimos como el conjunto de clases de homotopía de mapas
