Ecuación diferencial ordinaria
En matemáticas , una ecuación diferencial ordinaria ( EDO ) es una ecuación diferencial que contiene una o más funciones de una variable independiente y las derivadas de esas funciones. [1] El término ordinario se usa en contraste con el término ecuación diferencial parcial que puede ser con respecto a más de una variable independiente. [2]
Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial que está definida por un polinomio lineal en la función desconocida y sus derivadas, que es una ecuación de la forma
donde , ..., y son funciones diferenciables arbitrarias que no necesitan ser lineales, y son las derivadas sucesivas de la función desconocida y de la variable x .
Entre las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones diferenciales lineales juegan un papel destacado por varias razones. La mayoría de las funciones elementales y especiales que se encuentran en física y matemáticas aplicadas son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales (ver Función holonómica ). Cuando los fenómenos físicos se modelan con ecuaciones no lineales, generalmente se aproximan mediante ecuaciones diferenciales lineales para una solución más fácil. Las pocas EDO no lineales que pueden resolverse explícitamente generalmente se resuelven transformando la ecuación en una EDO lineal equivalente (ver, por ejemplo, la ecuación de Riccati ).
Algunas EDO se pueden resolver explícitamente en términos de funciones e integrales conocidas . Cuando eso no sea posible, la ecuación para calcular la serie de Taylor de las soluciones puede ser útil. Para problemas aplicados, los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias pueden proporcionar una aproximación de la solución.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) surgen en muchos contextos de las matemáticas y las ciencias sociales y naturales . Las descripciones matemáticas del cambio usan diferenciales y derivadas. Varios diferenciales, derivadas y funciones se relacionan a través de ecuaciones, de modo que una ecuación diferencial es un resultado que describe fenómenos que cambian dinámicamente, evolución y variación. A menudo, las cantidades se definen como la tasa de cambio de otras cantidades (por ejemplo, derivadas del desplazamiento con respecto al tiempo) o gradientes de cantidades, que es la forma en que entran en las ecuaciones diferenciales.
