En matemáticas , un polinomio es una expresión que consta de variables (también llamadas indeterminadas ) y coeficientes , que involucra solo las operaciones de suma , resta , multiplicación y exponenciación de variables enteras no negativas . Un ejemplo de un polinomio de un único indeterminado x es x 2 - 4 x + 7 . Un ejemplo de tres variables es x 3 + 2 xyz 2 - yz+ 1 .
Los polinomios aparecen en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias. Por ejemplo, se utilizan para formar ecuaciones polinomiales , que codifican una amplia gama de problemas, desde problemas de palabras elementales hasta problemas científicos complicados; se utilizan para definir funciones polinomiales , que aparecen en entornos que van desde la química y la física básicas hasta la economía y las ciencias sociales ; se utilizan en cálculo y análisis numérico para aproximar otras funciones. En matemáticas avanzadas, los polinomios se utilizan para construir anillos polinomiales y variedades algebraicas , que son conceptos centrales en álgebra y geometría algebraica .
Etimología
La palabra polinomio une dos raíces diversas : el griego poly , que significa "muchos", y el latín nomen , o nombre. Se derivó del término binomio reemplazando la raíz latina bi- por la griega poly- . La palabra polinomio se utilizó por primera vez en el siglo XVII. [1]
Notación y terminología
La x que aparece en un polinomio se denomina comúnmente variable o indeterminado . Cuando el polinomio se considera una expresión, x es un símbolo fijo que no tiene ningún valor (su valor es "indeterminado"). Sin embargo, cuando se considera la función definida por el polinomio, entonces x representa el argumento de la función y, por lo tanto, se denomina "variable". Muchos autores usan estas dos palabras indistintamente.
Es común usar letras mayúsculas para indeterminados y letras minúsculas correspondientes para las variables (o argumentos) de la función asociada. [ cita requerida ]
Un polinomio P en la x indeterminada se denota comúnmente como P o como P ( x ). Formalmente, el nombre del polinomio es P , no P ( x ), pero el uso de la notación funcional P ( x ) data de una época en que la distinción entre un polinomio y la función asociada no estaba clara. Además, la notación funcional suele ser útil para especificar, en una sola frase, un polinomio y su indeterminado. Por ejemplo, "sea P ( x ) un polinomio" es una forma abreviada de "sea P un polinomio en la x indeterminada ". Por otro lado, cuando no es necesario enfatizar el nombre del indeterminado, muchas fórmulas son mucho más simples y fáciles de leer si el nombre del indeterminado no aparece en cada ocurrencia del polinomio.
La ambigüedad de tener dos notaciones para un solo objeto matemático puede resolverse formalmente considerando el significado general de la notación funcional para polinomios. Si un denota un número, una variable, otro polinomio, o, más generalmente, cualquier expresión, entonces P ( a ) denota, por convención, el resultado de la sustitución de un para x en P . Así, el polinomio P define la función
que es la función polinómica asociado a P . Con frecuencia, cuando se usa esta notación, se supone que a es un número. Sin embargo, se puede usar en cualquier dominio donde se definan la suma y la multiplicación (es decir, cualquier anillo ). En particular, si a es un polinomio, entonces P ( a ) también es un polinomio.
Más específicamente, cuando a es la x indeterminada , entonces la imagen de x por esta función es el polinomio P mismo (sustituir x por x no cambia nada). En otras palabras,
lo que justifica formalmente la existencia de dos notaciones para el mismo polinomio.
Definición
Un polinomio es una expresión que se puede construir a partir de constantes y símbolos llamados variables o indeterminados mediante suma , multiplicación y exponenciación a una potencia entera no negativa . Dos de estas expresiones que pueden transformarse, una a la otra, aplicando las propiedades habituales de conmutatividad , asociatividad y distributividad de la suma y la multiplicación, se considera que definen el mismo polinomio.
Un polinomio en una sola x indeterminada siempre se puede escribir (o reescribir) en la forma
dónde son constantes y es lo indeterminado. [2] [3] La palabra "indeterminado" significa queno representa ningún valor en particular, aunque cualquier valor puede ser sustituido por él. El mapeo que asocia el resultado de esta sustitución al valor sustituido es una función , llamada función polinomial .
Esto se puede expresar de manera más concisa mediante el uso de la notación de suma :
Es decir, un polinomio puede ser cero o puede escribirse como la suma de un número finito de términos distintos de cero . Cada término consiste en el producto de un número, llamado coeficiente del término [a] , y un número finito de indeterminados, elevado a potencias enteras no negativas.
Clasificación
El exponente de un indeterminado en un término se llama el grado de ese indeterminado en ese término; el grado del término es la suma de los grados de los indeterminados en ese término, y el grado de un polinomio es el grado más grande de cualquier término con coeficiente distinto de cero. [4] Como x = x 1 , el grado de un indeterminado sin un exponente escrito es uno.
Un término sin indeterminados y un polinomio sin indeterminados se denominan, respectivamente, término constante y polinomio constante . [b] El grado de un término constante y de un polinomio constante distinto de cero es 0. El grado del polinomio cero 0 (que no tiene ningún término) generalmente se trata como no definido (pero ver más abajo). [5]
Por ejemplo:
es un término. El coeficiente es -5 , los indeterminados son x y y , el grado de x es de dos, mientras que el grado de y es uno. El grado del término completo es la suma de los grados de cada indeterminado en él, por lo que en este ejemplo el grado es 2 + 1 = 3 .
Formar una suma de varios términos produce un polinomio. Por ejemplo, lo siguiente es un polinomio:
Consta de tres términos: el primero es el grado dos, el segundo es el grado uno y el tercero es el grado cero.
A los polinomios de pequeño grado se les han dado nombres específicos. Un polinomio de grado cero es un polinomio constante o simplemente una constante . Los polinomios de grado uno, dos o tres son respectivamente polinomios lineales, polinomios cuadráticos y polinomios cúbicos . [4] Para grados superiores, los nombres específicos no se usan comúnmente, aunque a veces se usan polinomio cuartico (para el grado cuatro) y polinomio quintico (para el grado cinco). Los nombres de los grados pueden aplicarse al polinomio o sus términos. Por ejemplo, el término 2 x en x 2 + 2 x + 1 es un término lineal en un polinomio cuadrático.
El polinomio 0, que puede considerarse que no tiene términos en absoluto, se llama polinomio cero . A diferencia de otros polinomios constantes, su grado no es cero. Más bien, el grado del polinomio cero se deja explícitamente indefinido o se define como negativo (−1 o −∞). [6] El polinomio cero también es único porque es el único polinomio en un indeterminado que tiene un número infinito de raíces . La gráfica del polinomio cero, f ( x ) = 0 , es el eje x .
En el caso de polinomios en más de un indeterminado, un polinomio se llama homogéneo de grado n si todos sus términos distintos de cero tienen grado n . El polinomio cero es homogéneo y, como polinomio homogéneo, su grado es indefinido. [c] Por ejemplo, x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 - 3 x 5 es homogéneo de grado 5. Para obtener más detalles, consulte Polinomio homogéneo .
La ley conmutativa de la adición se puede utilizar para reorganizar los términos en cualquier orden preferido. En polinomios con uno indeterminado, los términos suelen ordenarse según el grado, ya sea en "potencias descendentes de x ", con el término de mayor grado primero, o en "potencias ascendentes de x ". El polinomio 3 x 2 - 5 x + 4 se escribe en potencias descendentes de x . El primer término tiene coeficiente 3 , x indeterminado y exponente 2 . En el segundo término, el coeficiente es −5 . El tercer término es una constante. Debido a que el grado de un polinomio distinto de cero es el grado más grande de cualquier término, este polinomio tiene grado dos. [7]
Dos términos con los mismos indeterminados elevados a las mismas potencias se denominan "términos similares" o "términos similares", y pueden combinarse, utilizando la ley distributiva , en un solo término cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los términos que fueron combinados. Puede suceder que esto haga que el coeficiente sea 0. [8] Los polinomios se pueden clasificar por el número de términos con coeficientes distintos de cero, de modo que un polinomio de un término se llama monomio , [d] un polinomio de dos términos se llama binomio y un polinomio de tres términos se llama trinomio . El término "cuadrinomio" se usa ocasionalmente para un polinomio de cuatro términos.
Un polinomio real es un polinomio con coeficientes reales . Cuando se usa para definir una función , el dominio no está tan restringido. Sin embargo, una función polinomial real es una función de los reales a los reales que está definida por un polinomio real. De manera similar, un polinomio entero es un polinomio con coeficientes enteros y un polinomio complejo es un polinomio con coeficientes complejos .
Un polinomio en un indeterminado se llama polinomio univariante , un polinomio en más de un indeterminado se llama polinomio multivariado . Un polinomio con dos indeterminados se llama polinomio bivariado . [3] Estas nociones se refieren más al tipo de polinomios con los que se trabaja generalmente que a polinomios individuales; por ejemplo, cuando se trabaja con polinomios univariados, no se excluyen los polinomios constantes (que pueden resultar de la resta de polinomios no constantes), aunque estrictamente hablando, los polinomios constantes no contienen ningún indeterminado. Es posible clasificar los polinomios multivariados como bivariados , trivariados , etc., de acuerdo con el número máximo de indeterminados permitidos. Una vez más, para que el conjunto de objetos en consideración se cierre por sustracción, un estudio de polinomios trivariados generalmente permite polinomios bivariados, y así sucesivamente. También es común decir simplemente "polinomios en x , y y z ", enumerando los indeterminados permitidos.
La evaluación de un polinomio consiste en sustituir un valor numérico a cada indeterminado y realizar las multiplicaciones y sumas indicadas. Para polinomios en un indeterminado, la evaluación suele ser más eficiente (menor número de operaciones aritméticas a realizar) utilizando el método de Horner :
Aritmética
Adición y sustracción
Los polinomios se pueden agregar usando la ley asociativa de la suma (agrupando todos sus términos en una sola suma), posiblemente seguida de un reordenamiento (usando la ley conmutativa ) y la combinación de términos similares. [8] [9] Por ejemplo, si
- y
entonces la suma
se puede reordenar y reagrupar como
y luego simplificado a
Cuando se suman polinomios, el resultado es otro polinomio. [10]
La resta de polinomios es similar.
Multiplicación
Los polinomios también se pueden multiplicar. Para expandir el producto de dos polinomios en una suma de términos, la ley distributiva se aplica repetidamente, lo que da como resultado que cada término de un polinomio se multiplique por cada término del otro. [8] Por ejemplo, si
luego
Realizar la multiplicación en cada término produce
Combinando términos similares rendimientos
que se puede simplificar a
Como en el ejemplo, el producto de polinomios es siempre un polinomio. [10] [5]
Composición
Dado un polinomio de una sola variable y otro polinomio g de cualquier número de variables, la composición se obtiene sustituyendo cada copia de la variable del primer polinomio por el segundo polinomio. [5] Por ejemplo, si y luego
División
La división de un polinomio por otro no suele ser un polinomio. En su lugar, estas relaciones son una familia más general de objetos, llamados fracciones racionales , expresiones racionales , o funciones racionales , dependiendo del contexto. [12] Esto es análogo al hecho de que la razón de dos enteros es un número racional , no necesariamente un entero. [13] [14] Por ejemplo, la fracción 1 / ( x 2 + 1) no es un polinomio y no se puede escribir como una suma finita de potencias de la variable x .
Para polinomios en una variable, existe una noción de división euclidiana de polinomios , generalizando la división euclidiana de números enteros. [e] Esta noción de la división a ( x ) / b ( x ) da como resultado dos polinomios, un cociente q ( x ) y un resto r ( x ) , tales que a = b q + r y grado ( r ) < grado ( b ) . El cociente y el resto pueden calcularse mediante cualquiera de varios algoritmos, incluida la división polinomial larga y la división sintética . [15]
Cuando el denominador b ( x ) es monico y lineal, es decir, b ( x ) = x - c para alguna constante c , entonces el teorema del resto polinomial afirma que el resto de la división de a ( x ) por b ( x ) es la evaluación a ( c ) . [14] En este caso, el cociente puede calcularse mediante la regla de Ruffini , un caso especial de división sintética. [dieciséis]
Factorización
Todos los polinomios con coeficientes en un dominio de factorización único (por ejemplo, los números enteros o un campo ) también tienen una forma factorizada en la que el polinomio se escribe como un producto de polinomios irreducibles y una constante. Esta forma factorizada es única hasta el orden de los factores y su multiplicación por una constante invertible. En el caso del campo de números complejos , los factores irreducibles son lineales. Sobre los números reales , tienen el grado uno o dos. Sobre los enteros y los números racionales, los factores irreducibles pueden tener cualquier grado. [17] Por ejemplo, la forma factorizada de
es
sobre los enteros y los reales y
sobre los números complejos.
El cálculo de la forma factorizada, llamado factorización , es, en general, demasiado difícil de realizar mediante cálculo escrito a mano. Sin embargo, la mayoría de los sistemas de álgebra computacional disponen de algoritmos eficientes de factorización de polinomios .
Cálculo
Calcular derivadas e integrales de polinomios es particularmente simple, en comparación con otros tipos de funciones. La derivada del polinomio
Para polinomios cuyos coeficientes provienen de configuraciones más abstractas (por ejemplo, si los coeficientes son números enteros módulo algún número primo p , o elementos de un anillo arbitrario), la fórmula para la derivada aún se puede interpretar formalmente, con el coeficiente ka k entendido como significa la suma de k copias de un k . Por ejemplo, sobre los números enteros módulo p , la derivada del polinomio x p + x es el polinomio 1 . [18]
Funciones polinomiales
Una función polinomial es una función que se puede definir evaluando un polinomio. Más precisamente, una función f de un argumento de un dominio dado es una función polinomial si existe un polinomio
que evalúa a para todo x en el dominio de f (aquí, n es un número entero no negativo y a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n son coeficientes constantes). Generalmente, a menos que se especifique lo contrario, las funciones polinomiales tienen coeficientes, argumentos y valores complejos . En particular, un polinomio, restringido a tener coeficientes reales, define una función desde los números complejos hasta los números complejos. Si el dominio de esta función también está restringido a los reales, la función resultante es una función real que asigna los reales a los reales.
Por ejemplo, la función f , definida por
es una función polinomial de una variable. Las funciones polinomiales de varias variables se definen de manera similar, utilizando polinomios en más de un indeterminado, como en
De acuerdo con la definición de funciones polinomiales, puede haber expresiones que obviamente no son polinomios pero sin embargo definen funciones polinomiales. Un ejemplo es la expresión que toma los mismos valores que el polinomio en el intervalo , y así ambas expresiones definen la misma función polinomial en este intervalo.
Cada función polinomial es continua , uniforme y completa .
Gráficos
Polinomio de grado 0:
f ( x ) = 2Polinomio de grado 1:
f ( x ) = 2 x + 1Polinomio de grado 2:
f ( x ) = x 2 - x - 2
= ( x + 1) ( x - 2)Polinomio de grado 3:
f ( x ) = x 3 /4 + 3 x 2 /4 - 3 x / 2 - 2
= 1/4 ( x + 4) ( x + 1) ( x - 2)Polinomio de grado 4:
f ( x ) = 1/14 ( x + 4) ( x + 1) ( x - 1) ( x - 3)
+ 0.5Polinomio de grado 5:
f ( x ) = 1/20 ( x + 4) ( x + 2) ( x + 1) ( x - 1)
( x - 3) + 2Polinomio de grado 6:
f ( x ) = 1/100 ( x 6 - 2 x 5 - 26 x 4 + 28 x 3
+ 145 x 2 - 26 x - 80)Polinomio de grado 7:
f ( x ) = ( x - 3) ( x - 2) ( x - 1) ( x ) ( x + 1) ( x + 2)
( x + 3)
Una función polinomial en una variable real se puede representar mediante una gráfica .
- La gráfica del polinomio cero f ( x ) = 0es el eje x .
- La gráfica de un polinomio de grado 0 f ( x ) = a 0 , donde a 0 ≠ 0 ,es una línea horizontal con intersección en y a 0
- La gráfica de un polinomio de grado 1 (o función lineal) f ( x ) = a 0 + a 1 x , donde a 1 ≠ 0 ,es una línea oblicua con intersección en y a 0 y pendiente a 1 .
- La gráfica de un polinomio de grado 2 f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 , donde a 2 ≠ 0es una parábola .
- La gráfica de un polinomio de grado 3 f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 , donde a 3 ≠ 0es una curva cúbica .
- La gráfica de cualquier polinomio con grado 2 o mayor f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n , donde a n ≠ 0 y n ≥ 2es una curva continua no lineal.
Una función polinomial no constante tiende a infinito cuando la variable aumenta indefinidamente (en valor absoluto ). Si el grado es superior a uno, la gráfica no tiene asíntota . Tiene dos ramas parabólicas con dirección vertical (una rama para x positiva y otra para x negativa ).
Los gráficos polinomiales se analizan en cálculo utilizando intersecciones, pendientes, concavidad y comportamiento de los extremos.
Ecuaciones
Una ecuación polinomial , también llamada ecuación algebraica , es una ecuación de la forma [19]
Por ejemplo,
es una ecuación polinomial.
Al considerar ecuaciones, los indeterminados (variables) de los polinomios también se denominan incógnitas , y las soluciones son los posibles valores de las incógnitas para las que la igualdad es verdadera (en general, puede existir más de una solución). Una ecuación polinomial contrasta con una identidad polinomial como ( x + y ) ( x - y ) = x 2 - y 2 , donde ambas expresiones representan el mismo polinomio en diferentes formas y, como consecuencia, cualquier evaluación de ambos miembros da una igualdad válida.
En álgebra elemental , se enseñan métodos como la fórmula cuadrática para resolver todas las ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado en una variable. También hay fórmulas para las ecuaciones cúbica y cuártica . Para grados superiores, el teorema de Abel-Ruffini afirma que no puede existir una fórmula general en radicales. Sin embargo, se pueden usar algoritmos de búsqueda de raíces para encontrar aproximaciones numéricas de las raíces de una expresión polinomial de cualquier grado.
El número de soluciones de una ecuación polinomial con coeficientes reales no puede exceder el grado y es igual al grado cuando las soluciones complejas se cuentan con su multiplicidad . Este hecho se denomina teorema fundamental del álgebra .
Resolver ecuaciones
Todo polinomio P en x define una función llamada función polinomial asociada a P ; la ecuación P ( x ) = 0 es la ecuación polinómica asociado a P . Las soluciones de esta ecuación se denominan raíces del polinomio o ceros de la función asociada (corresponden a los puntos donde la gráfica de la función se encuentra con el eje x ).
Un número a es una raíz de un polinomio P si y sólo si el lineal polinomio x - un divide P , que es si hay otro polinomio Q tal que P = ( x - un ) Q . Puede suceder que x - un divide P más de una vez: si ( x - una ) 2 divisiones P entonces una se llama una raíz múltiple de P , y de otra manera una se llama una raíz sencilla de P . Si P es un polinomio distinto de cero, hay una mayor potencia m tal que ( x - un ) m divide P , que se llama la multiplicidad de la raíz una en P . Cuando P es el polinomio cero, la ecuación polinomial correspondiente es trivial, y este caso generalmente se excluye al considerar raíces, ya que, con las definiciones anteriores, cada número es una raíz del polinomio cero, con una multiplicidad indefinida. Con esta excepción hecha, el número de raíces de P , incluso contados con sus respectivas multiplicidades, no puede exceder el grado de P . [20] La relación entre los coeficientes de un polinomio y sus raíces se describe mediante las fórmulas de Vieta .
Some polynomials, such as x2 + 1, do not have any roots among the real numbers. If, however, the set of accepted solutions is expanded to the complex numbers, every non-constant polynomial has at least one root; this is the fundamental theorem of algebra. By successively dividing out factors x − a, one sees that any polynomial with complex coefficients can be written as a constant (its leading coefficient) times a product of such polynomial factors of degree 1; as a consequence, the number of (complex) roots counted with their multiplicities is exactly equal to the degree of the polynomial.
There may be several meanings of "solving an equation". One may want to express the solutions as explicit numbers; for example, the unique solution of 2x − 1 = 0 is 1/2. Unfortunately, this is, in general, impossible for equations of degree greater than one, and, since the ancient times, mathematicians have searched to express the solutions as algebraic expression; for example the golden ratio is the unique positive solution of In the ancient times, they succeeded only for degrees one and two. For quadratic equations, the quadratic formula provides such expressions of the solutions. Since the 16th century, similar formulas (using cube roots in addition to square roots), but much more complicated are known for equations of degree three and four (see cubic equation and quartic equation). But formulas for degree 5 and higher eluded researchers for several centuries. In 1824, Niels Henrik Abel proved the striking result that there are equations of degree 5 whose solutions cannot be expressed by a (finite) formula, involving only arithmetic operations and radicals (see Abel–Ruffini theorem). In 1830, Évariste Galois proved that most equations of degree higher than four cannot be solved by radicals, and showed that for each equation, one may decide whether it is solvable by radicals, and, if it is, solve it. This result marked the start of Galois theory and group theory, two important branches of modern algebra. Galois himself noted that the computations implied by his method were impracticable. Nevertheless, formulas for solvable equations of degrees 5 and 6 have been published (see quintic function and sextic equation).
When there is no algebraic expression for the roots, and when such an algebraic expression exists but is too complicated to be useful, the unique way of solving is to compute numerical approximations of the solutions.[21] There are many methods for that; some are restricted to polynomials and others may apply to any continuous function. The most efficient algorithms allow solving easily (on a computer) polynomial equations of degree higher than 1,000 (see Root-finding algorithm).
For polynomials in more than one indeterminate, the combinations of values for the variables for which the polynomial function takes the value zero are generally called zeros instead of "roots". The study of the sets of zeros of polynomials is the object of algebraic geometry. For a set of polynomial equations in several unknowns, there are algorithms to decide whether they have a finite number of complex solutions, and, if this number is finite, for computing the solutions. See System of polynomial equations.
The special case where all the polynomials are of degree one is called a system of linear equations, for which another range of different solution methods exist, including the classical Gaussian elimination.
A polynomial equation for which one is interested only in the solutions which are integers is called a Diophantine equation. Solving Diophantine equations is generally a very hard task. It has been proved that there cannot be any general algorithm for solving them, and even for deciding whether the set of solutions is empty (see Hilbert's tenth problem). Some of the most famous problems that have been solved during the fifty last years are related to Diophantine equations, such as Fermat's Last Theorem.
Generalizaciones
There are several generalizations of the concept of polynomials.
Trigonometric polynomials
A trigonometric polynomial is a finite linear combination of functions sin(nx) and cos(nx) with n taking on the values of one or more natural numbers.[22] The coefficients may be taken as real numbers, for real-valued functions.
If sin(nx) and cos(nx) are expanded in terms of sin(x) and cos(x), a trigonometric polynomial becomes a polynomial in the two variables sin(x) and cos(x) (using List of trigonometric identities#Multiple-angle formulae). Conversely, every polynomial in sin(x) and cos(x) may be converted, with Product-to-sum identities, into a linear combination of functions sin(nx) and cos(nx). This equivalence explains why linear combinations are called polynomials.
For complex coefficients, there is no difference between such a function and a finite Fourier series.
Trigonometric polynomials are widely used, for example in trigonometric interpolation applied to the interpolation of periodic functions. They are used also in the discrete Fourier transform.
Matrix polynomials
A matrix polynomial is a polynomial with square matrices as variables.[23] Given an ordinary, scalar-valued polynomial
this polynomial evaluated at a matrix A is
where I is the identity matrix.[24]
A matrix polynomial equation is an equality between two matrix polynomials, which holds for the specific matrices in question. A matrix polynomial identity is a matrix polynomial equation which holds for all matrices A in a specified matrix ring Mn(R).
Laurent polynomials
Laurent polynomials are like polynomials, but allow negative powers of the variable(s) to occur.
Rational functions
A rational fraction is the quotient (algebraic fraction) of two polynomials. Any algebraic expression that can be rewritten as a rational fraction is a rational function.
While polynomial functions are defined for all values of the variables, a rational function is defined only for the values of the variables for which the denominator is not zero.
The rational fractions include the Laurent polynomials, but do not limit denominators to powers of an indeterminate.
Power series
Formal power series are like polynomials, but allow infinitely many non-zero terms to occur, so that they do not have finite degree. Unlike polynomials they cannot in general be explicitly and fully written down (just like irrational numbers cannot), but the rules for manipulating their terms are the same as for polynomials. Non-formal power series also generalize polynomials, but the multiplication of two power series may not converge.
Other examples
A bivariate polynomial where the second variable is substituted by an exponential function applied to the first variable, for example P(x, ex), may be called an exponential polynomial.
Aplicaciones
Abstract algebra
In abstract algebra, one distinguishes between polynomials and polynomial functions. A polynomial f in one indeterminate x over a ring R is defined as a formal expression of the form
where n is a natural number, the coefficients a0, . . ., an are elements of R, and x is a formal symbol, whose powers xi are just placeholders for the corresponding coefficients ai, so that the given formal expression is just a way to encode the sequence (a0, a1, . . .), where there is an n such that ai = 0 for all i > n. Two polynomials sharing the same value of n are considered equal if and only if the sequences of their coefficients are equal; furthermore any polynomial is equal to any polynomial with greater value of n obtained from it by adding terms in front whose coefficient is zero. These polynomials can be added by simply adding corresponding coefficients (the rule for extending by terms with zero coefficients can be used to make sure such coefficients exist). Thus each polynomial is actually equal to the sum of the terms used in its formal expression, if such a term aixi is interpreted as a polynomial that has zero coefficients at all powers of x other than xi. Then to define multiplication, it suffices by the distributive law to describe the product of any two such terms, which is given by the rule
- for all elements a, b of the ring R and all natural numbersk and l.
Thus the set of all polynomials with coefficients in the ring R forms itself a ring, the ring of polynomials over R, which is denoted by R[x]. The map from R to R[x] sending r to rx0 is an injective homomorphism of rings, by which R is viewed as a subring of R[x]. If R is commutative, then R[x] is an algebra over R.
One can think of the ring R[x] as arising from R by adding one new element x to R, and extending in a minimal way to a ring in which x satisfies no other relations than the obligatory ones, plus commutation with all elements of R (that is xr = rx). To do this, one must add all powers of x and their linear combinations as well.
Formation of the polynomial ring, together with forming factor rings by factoring out ideals, are important tools for constructing new rings out of known ones. For instance, the ring (in fact field) of complex numbers, which can be constructed from the polynomial ring R[x] over the real numbers by factoring out the ideal of multiples of the polynomial x2 + 1. Another example is the construction of finite fields, which proceeds similarly, starting out with the field of integers modulo some prime number as the coefficient ring R (see modular arithmetic).
If R is commutative, then one can associate with every polynomial P in R[x] a polynomial function f with domain and range equal to R. (More generally, one can take domain and range to be any same unital associative algebra over R.) One obtains the value f(r) by substitution of the value r for the symbol x in P. One reason to distinguish between polynomials and polynomial functions is that, over some rings, different polynomials may give rise to the same polynomial function (see Fermat's little theorem for an example where R is the integers modulo p). This is not the case when R is the real or complex numbers, whence the two concepts are not always distinguished in analysis. An even more important reason to distinguish between polynomials and polynomial functions is that many operations on polynomials (like Euclidean division) require looking at what a polynomial is composed of as an expression rather than evaluating it at some constant value for x.
Divisibility
In commutative algebra, one major focus of study is divisibility among polynomials. If R is an integral domain and f and g are polynomials in R[x], it is said that f divides g or f is a divisor of g if there exists a polynomial q in R[x] such that f q = g. One can show that every zero gives rise to a linear divisor, or more formally, if f is a polynomial in R[x] and r is an element of R such that f(r) = 0, then the polynomial (x − r) divides f. The converse is also true. The quotient can be computed using the polynomial long division.[25][26]
If F is a field and f and g are polynomials in F[x] with g ≠ 0, then there exist unique polynomials q and r in F[x] with
and such that the degree of r is smaller than the degree of g (using the convention that the polynomial 0 has a negative degree). The polynomials q and r are uniquely determined by f and g. This is called Euclidean division, division with remainder or polynomial long division and shows that the ring F[x] is a Euclidean domain.
Analogously, prime polynomials (more correctly, irreducible polynomials) can be defined as non-zero polynomials which cannot be factorized into the product of two non-constant polynomials. In the case of coefficients in a ring, "non-constant" must be replaced by "non-constant or non-unit" (both definitions agree in the case of coefficients in a field). Any polynomial may be decomposed into the product of an invertible constant by a product of irreducible polynomials. If the coefficients belong to a field or a unique factorization domain this decomposition is unique up to the order of the factors and the multiplication of any non-unit factor by a unit (and division of the unit factor by the same unit). When the coefficients belong to integers, rational numbers or a finite field, there are algorithms to test irreducibility and to compute the factorization into irreducible polynomials (see Factorization of polynomials). These algorithms are not practicable for hand-written computation, but are available in any computer algebra system. Eisenstein's criterion can also be used in some cases to determine irreducibility.
Positional notation
In modern positional numbers systems, such as the decimal system, the digits and their positions in the representation of an integer, for example, 45, are a shorthand notation for a polynomial in the radix or base, in this case, 4 × 101 + 5 × 100. As another example, in radix 5, a string of digits such as 132 denotes the (decimal) number 1 × 52 + 3 × 51 + 2 × 50 = 42. This representation is unique. Let b be a positive integer greater than 1. Then every positive integer a can be expressed uniquely in the form
where m is a nonnegative integer and the r's are integers such that
- 0 < rm < b and 0 ≤ ri < b for i = 0, 1, . . . , m − 1. [27]
Interpolation and approximation
The simple structure of polynomial functions makes them quite useful in analyzing general functions using polynomial approximations. An important example in calculus is Taylor's theorem, which roughly states that every differentiable function locally looks like a polynomial function, and the Stone–Weierstrass theorem, which states that every continuous function defined on a compact interval of the real axis can be approximated on the whole interval as closely as desired by a polynomial function. Practical methods of approximation include polynomial interpolation and the use of splines.[28]
Other applications
Polynomials are frequently used to encode information about some other object. The characteristic polynomial of a matrix or linear operator contains information about the operator's eigenvalues. The minimal polynomial of an algebraic element records the simplest algebraic relation satisfied by that element. The chromatic polynomial of a graph counts the number of proper colourings of that graph.
The term "polynomial", as an adjective, can also be used for quantities or functions that can be written in polynomial form. For example, in computational complexity theory the phrase polynomial time means that the time it takes to complete an algorithm is bounded by a polynomial function of some variable, such as the size of the input.
Historia
Determining the roots of polynomials, or "solving algebraic equations", is among the oldest problems in mathematics. However, the elegant and practical notation we use today only developed beginning in the 15th century. Before that, equations were written out in words. For example, an algebra problem from the Chinese Arithmetic in Nine Sections, circa 200 BCE, begins "Three sheafs of good crop, two sheafs of mediocre crop, and one sheaf of bad crop are sold for 29 dou." We would write 3x + 2y + z = 29.
History of the notation
The earliest known use of the equal sign is in Robert Recorde's The Whetstone of Witte, 1557. The signs + for addition, − for subtraction, and the use of a letter for an unknown appear in Michael Stifel's Arithemetica integra, 1544. René Descartes, in La géometrie, 1637, introduced the concept of the graph of a polynomial equation. He popularized the use of letters from the beginning of the alphabet to denote constants and letters from the end of the alphabet to denote variables, as can be seen above, in the general formula for a polynomial in one variable, where the a's denote constants and x denotes a variable. Descartes introduced the use of superscripts to denote exponents as well.[29]
Ver también
- List of polynomial topics
- Polynomial decomposition
- Polynomial sequence
- Polynomial transformation – Transformation of a polynomial induced by a transformation of its roots
- Polynomial mapping – Function such that the coordinates of the image of a point are polynomial functions of the coordinates of the point
Notas
- ^ See "polynomial" and "binomial", Compact Oxford English Dictionary
- ^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-08-28.
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Polynomial". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-28.
- ^ a b "Polynomials | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-28.
- ^ a b c Barbeau 2003, pp. 1–2
- ^ Weisstein, Eric W. "Zero Polynomial". MathWorld.
- ^ Edwards 1995, p. 78
- ^ a b c Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. p. 47. ISBN 978-0-8176-3731-6.
- ^ Salomon, David (2006). Coding for Data and Computer Communications. Springer. p. 459. ISBN 978-0-387-23804-3.
- ^ a b Introduction to Algebra. Yale University Press. 1965. p. 621.
Any two such polynomials can be added, subtracted, or multiplied. Furthermore , the result in each case is another polynomial
- ^ Kriete, Hartje (1998-05-20). Progress in Holomorphic Dynamics. CRC Press. p. 159. ISBN 978-0-582-32388-9.
This class of endomorphisms is closed under composition,
- ^ Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (6 May 2020). Intermediate Algebra 2e. §7.1: OpenStax.CS1 maint: location (link)
- ^ Haylock, Derek; Cockburn, Anne D. (2008-10-14). Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers. SAGE. p. 49. ISBN 978-1-4462-0497-9.
We find that the set of integers is not closed under this operation of division.
- ^ a b Marecek & Mathis 2020, §5.4]
- ^ Selby, Peter H.; Slavin, Steve (1991). Practical Algebra: A Self-Teaching Guide (2nd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-53012-1.
- ^ Weisstein, Eric W. "Ruffini's Rule". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-25.
- ^ Barbeau 2003, pp. 80–2
- ^ Barbeau 2003, pp. 64–5
- ^ Proskuryakov, I.V. (1994). "Algebraic equation". In Hazewinkel, Michiel (ed.). Encyclopaedia of Mathematics. vol. 1. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
|volume=
has extra text (help) - ^ Leung, Kam-tim; et al. (1992). Polynomials and Equations. Hong Kong University Press. p. 134. ISBN 9789622092716.
- ^ McNamee, J.M. (2007). Numerical Methods for Roots of Polynomials, Part 1. Elsevier. ISBN 978-0-08-048947-6.
- ^ Powell, Michael J. D. (1981). Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29514-7.
- ^ Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2009) [1982]. Matrix Polynomials. Classics in Applied Mathematics. 58. Lancaster, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-681-8. Zbl 1170.15300.
- ^ Horn & Johnson 1990, p. 36.
- ^ Irving, Ronald S. (2004). Integers, Polynomials, and Rings: A Course in Algebra. Springer. p. 129. ISBN 978-0-387-20172-6.
- ^ Jackson, Terrence H. (1995). From Polynomials to Sums of Squares. CRC Press. p. 143. ISBN 978-0-7503-0329-3.
- ^ McCoy 1968, p. 75
- ^ de Villiers, Johann (2012). Mathematics of Approximation. Springer. ISBN 9789491216503.
- ^ Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.). Saunders. ISBN 0-03-029558-0.
- ^ The coefficient of a term may be any number from a specified set. If that set is the set of real numbers, we speak of "polynomials over the reals". Other common kinds of polynomials are polynomials with integer coefficients, polynomials with complex coefficients, and polynomials with coefficients that are integers modulo some prime number p.
- ^ This terminology dates from the time when the distinction was not clear between a polynomial and the function that it defines: a constant term and a constant polynomial define constant functions.[citation needed]
- ^ In fact, as a homogeneous function, it is homogeneous of every degree.[citation needed]
- ^ Some authors use "monomial" to mean "monic monomial". See Knapp, Anthony W. (2007). Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra. Springer. p. 457. ISBN 978-0-8176-4522-9.
- ^ This paragraph assumes that the polynomials have coefficients in a field.
Referencias
- Barbeau, E.J. (2003). Polynomials. Springer. ISBN 978-0-387-40627-5.
- Bronstein, Manuel; et al., eds. (2006). Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications. Springer. ISBN 978-3-540-27357-8.
- Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997). Integer-Valued Polynomials. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0388-2.
- Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556. This classical book covers most of the content of this article.
- Leung, Kam-tim; et al. (1992). Polynomials and Equations. Hong Kong University Press. ISBN 9789622092716.
- Mayr, K. (1937). "Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen". Monatshefte für Mathematik und Physik. 45: 280–313. doi:10.1007/BF01707992. S2CID 197662587.
- McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225
- Prasolov, Victor V. (2005). Polynomials. Springer. ISBN 978-3-642-04012-2.
- Sethuraman, B.A. (1997). "Polynomials". Rings, Fields, and Vector Spaces: An Introduction to Abstract Algebra Via Geometric Constructibility. Springer. ISBN 978-0-387-94848-5.
- Umemura, H. (2012) [1984]. "Resolution of algebraic equations by theta constants". In Mumford, David (ed.). Tata Lectures on Theta II: Jacobian theta functions and differential equations. Springer. pp. 261–. ISBN 978-0-8176-4578-6.
- von Lindemann, F. (1884). "Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen". Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. 1884: 245–8.
- von Lindemann, F. (1892). "Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. II". Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. 1892: 245–8.
enlaces externos
- "Polynomial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- "Euler's Investigations on the Roots of Equations". Archived from the original on September 24, 2012.