En matemáticas , y más específicamente en análisis , una función holonómica es una función suave de varias variables que es una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes polinomiales y satisface una condición de dimensión adecuada en términos de la teoría de D-módulos . Más precisamente, una función holonómica es un elemento de un módulo holonómico de funciones suaves. Las funciones holonómicas también se pueden describir como funciones finitas diferenciables , también conocidas como funciones D-finitas. Cuando una serie de potencias en las variables es la expansión de Taylor de una función holonómica, la secuencia de sus coeficientes, en uno o varios índices, también se llama holonómica . Las secuencias holonómicas también se denominan secuencias P-recursivas : se definen recursivamente mediante recurrencias multivariadas satisfechas por la secuencia completa y por especializaciones adecuadas de la misma. La situación se simplifica en el caso univariante: cualquier secuencia univariante que satisfaga una relación de recurrencia lineal homogénea con coeficientes polinomiales, o equivalentemente una ecuación en diferencias lineal homogénea con coeficientes polinomiales, es holonómica. [1]
Funciones y secuencias holonómicas en una variable
Definiciones
Dejar ser un campo de característica 0 (por ejemplo, o ).
Una función se llama D-finito (u holonómico ) si existen polinomios tal que
se mantiene para todo x . Esto también se puede escribir como dónde
y es el operador diferencial que mapea a . se llama un operador aniquilador de f (los operadores aniquiladores deformar un ideal en el ring, llamado el aniquilador de). La cantidad r se denomina orden del operador aniquilador. Por extensión, se dice que la función holonómica f es de orden r cuando existe un operador aniquilador de tal orden.
Una secuencia se llama P-recursivo (u holonómico ) si existen polinomios tal que
se mantiene para todos los n . Esto también se puede escribir como dónde
y el operador de turno que mapea a . se llama operador aniquilador de c (los operadores aniquiladores de formar un ideal en el ring , llamado el aniquilador de). La cantidad r se denomina orden del operador aniquilador. Por extensión, se dice que la secuencia holonómica c es de orden r cuando existe un operador aniquilador de tal orden.
Las funciones holonómicas son precisamente las funciones generadoras de secuencias holonómicas: si es holonómico, entonces los coeficientes en la expansión de la serie de potencia
forman una secuencia holonómica. Por el contrario, para una secuencia holonómica dada, la función definida por la suma anterior es holonómica (esto es cierto en el sentido de series de potencias formales , incluso si la suma tiene un radio de convergencia cero).
Propiedades de cierre
Las funciones (o secuencias) holonómicas satisfacen varias propiedades de cierre . En particular, las funciones (o secuencias) holonómicas forman un anillo . Sin embargo, no están cerrados por división y, por lo tanto, no forman un campo .
Si y son funciones holonómicas, entonces las siguientes funciones también son holonómicas:
- , dónde y son constantes
- (el producto de Cauchy de las secuencias)
- (el producto de Hadamard de las secuencias)
- , dónde es cualquier función algebraica . Sin embargo, generalmente no es holonómico.
Una propiedad crucial de las funciones holonómicas es que las propiedades de cierre son efectivas: dados los operadores de aniquilación para y , un operador aniquilador para tal como se define utilizando cualquiera de las operaciones anteriores se puede calcular explícitamente.
Ejemplos de funciones y secuencias holonómicas
Ejemplos de funciones holonómicas incluyen:
- todas las funciones algebraicas , incluidos polinomios y funciones racionales
- las funciones seno y coseno (pero no tangente)
- funciones exponenciales y logaritmos (a cualquier base)
- la función hipergeométrica generalizada , considerado en función de con todos los parámetros , mantenido fijo
- la función de error
- las funciones de Bessel , , ,
- las funciones Airy ,
La clase de funciones holonómicas es un superconjunto estricto de la clase de funciones hipergeométricas. Ejemplos de funciones especiales que son holonómicas pero no hipergeométricas incluyen las funciones de Heun .
Ejemplos de secuencias holonómicas incluyen:
- la secuencia de números de Fibonacci , y más generalmente, todas las secuencias constantes recursivas
- la secuencia de factoriales
- la secuencia de coeficientes binomiales (como funciones de cualquiera de n o k )
- la secuencia de números armónicos , y más en general para cualquier entero m
- la secuencia de números catalanes
- la secuencia de números de Motzkin .
- la secuencia de trastornos .
Las funciones hipergeométricas, las funciones de Bessel y los polinomios ortogonales clásicos , además de ser funciones holonómicas de su variable, también son secuencias holonómicas con respecto a sus parámetros. Por ejemplo, las funciones de Bessel y satisfacer la recurrencia lineal de segundo orden .
Ejemplos de funciones y secuencias no holonómicas
Ejemplos de funciones no holonómicas incluyen:
- la función [2]
- la función tan ( x ) + sec ( x ) [3]
- el cociente de dos funciones holonómicas generalmente no es holonómico.
Ejemplos de secuencias no holonómicas incluyen:
- los números de Bernoulli
- el número de permutaciones alternas [4]
- el número de particiones enteras [3]
- los números [3]
- los números dónde [3]
- los números primos [3]
- las enumeraciones de permutaciones irreductibles y conectadas . [5]
Funciones holonómicas en varias variables
Algoritmos y software
Las funciones holonómicas son una herramienta poderosa en álgebra computacional . Una función o secuencia holonómica se puede representar mediante una cantidad finita de datos, es decir, un operador aniquilador y un conjunto finito de valores iniciales, y las propiedades de cierre permiten realizar operaciones como pruebas de igualdad, suma e integración de forma algorítmica. En los últimos años, estas técnicas han permitido dar pruebas automatizadas de un gran número de funciones especiales e identidades combinatorias.
Además, existen algoritmos rápidos para evaluar funciones holonómicas con precisión arbitraria en cualquier punto del plano complejo y para calcular numéricamente cualquier entrada en una secuencia holonómica.
El software para trabajar con funciones holonómicas incluye:
- El paquete HolonomicFunctions [1] para Mathematica , desarrollado por Christoph Koutschan, que admite el cálculo de propiedades de cierre y prueba de identidades para funciones holonómicas univariadas y multivariadas
- La biblioteca algolib [2] para Maple , que incluye los siguientes paquetes:
- gfun , desarrollado por Bruno Salvy, Paul Zimmermann y Eithne Murray, para propiedades de cierre univariante y pruebas [3]
- mgfun , desarrollado por Frédéric Chyzak, para propiedades de cierre multivariante y pruebas [4]
- numgfun , desarrollado por Marc Mezzarobba, para evaluación numérica
Ver también
Diccionario dinámico de funciones matemáticas , un software en línea, basado en funciones holonómicas para estudiar automáticamente muchas funciones clásicas y especiales (evaluación en un punto, serie de Taylor y expansión asintótica a cualquier precisión dada por el usuario, ecuación diferencial, recurrencia de los coeficientes de Taylor serie, derivada, integral indefinida, trazado, ...)
Notas
- ^ Ver Zeilberger 1990 y Kauers & Paule 2011 .
- ^ Esto se sigue del hecho de que la funcióntiene infinitas singularidades ( complejas ), mientras que las funciones que satisfacen una ecuación diferencial lineal con coeficientes polinomiales necesariamente tienen sólo un número finito de puntos singulares.
- ^ a b c d e Véase Flajolet, Gerhold y Salvy 2005 .
- ^ Esto se sigue del hecho de que la función tan ( x ) + sec ( x ) es una función no holonómica. Ver Flajolet, Gerhold & Salvy 2005 .
- ^ Ver Klazar 2003 .
Referencias
- Flajolet, Philippe; Gerhold, Stefan; Salvy, Bruno (2005), "Sobre el carácter no holonómico de los logaritmos, las potencias y la función prima n-ésima" , Electronic Journal of Combinatorics , 11 (2), doi : 10.37236 / 1894 , S2CID 184136.
- Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Combinatoria analítica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521898065.
- Kauers, Manuel; Paule, Peter (2011). El tetraedro concreto: sumas simbólicas, ecuaciones de recurrencia, funciones generadoras, estimaciones asintóticas . Texto y monografías en computación simbólica. Saltador. ISBN 978-3-7091-0444-6.
- Klazar, Martín (2003). "Permutaciones irreducibles y conectadas" (PDF) (122). Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) (Preimpresión de la serie ITI)
- Mallinger, Christian (1996). Manipulaciones algorítmicas y transformaciones de funciones y secuencias holonómicas univariadas (PDF) (Tesis) . Consultado el 4 de junio de 2013 .
- Stanley, Richard P. (1999). Combinatoria enumerativa . 2 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-56069-6.
- Zeilberger, Doron (1990). "Un enfoque de sistemas holonómicos a las identidades de funciones especiales" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 32 (3): 321–368. doi : 10.1016 / 0377-0427 (90) 90042-X . ISSN 0377-0427 . Señor 1090884 .