En matemáticas , un grupo de matrices es un grupo G que consta de matrices invertibles sobre un campo específico K , con la operación de multiplicación de matrices . Un grupo lineal es un grupo que es isomorfo a un grupo de la matriz (es decir, la admisión de un fiel , de dimensión finita representación sobre K ).
Cualquier grupo finito es lineal, porque se puede realizar mediante matrices de permutación utilizando el teorema de Cayley . Entre grupos infinitos , los grupos lineales forman una clase interesante y manejable. Ejemplos de grupos que no son lineales incluyen grupos que son "demasiado grandes" (por ejemplo, el grupo de permutaciones de un conjunto infinito), o que exhiben algún comportamiento patológico (por ejemplo, grupos de torsión infinitos generados finitamente ).
Definición y ejemplos básicos
Se dice que un grupo G es lineal si existe un campo K , un número entero d y un homomorfismo inyectivo de G al grupo lineal general GL d ( K ) (una representación lineal fiel de la dimensión d sobre K ): si es necesario, se puede mencionar el campo y dimensión diciendo que G es lineal de d grados sobre K . Las instancias básicas son grupos que se definen como subgrupos de un grupo lineal, por ejemplo:
- El propio grupo GL n ( K );
- El grupo lineal especial SL n ( K ) (el subgrupo de matrices con determinante 1);
- El grupo de matrices triangulares superiores (o inferiores) invertibles
- Si g i es una colección de elementos en GL n ( K ) indexados por un conjunto I , entonces el subgrupo generado por g i es un grupo lineal.
En el estudio de los grupos de Lie , a veces es pedagógicamente conveniente restringir la atención a los grupos de Lie que se pueden representar fielmente en el campo de los números complejos . (Algunos autores exigen que el grupo se represente como un subgrupo cerrado del GL n ( C )). Los libros que siguen este enfoque incluyen Hall (2015) [1] y Rossmann (2002). [2]
Clases de grupos lineales
Los llamados grupos clásicos generalizan los ejemplos 1 y 2 anteriores. Surgen como grupos algebraicos lineales , es decir, como subgrupos de GL n definidos por un número finito de ecuaciones. Los ejemplos básicos son grupos ortogonales , unitarios y simplécticos , pero es posible construir más utilizando álgebras de división (por ejemplo, el grupo unitario de un álgebra de cuaterniones es un grupo clásico). Tenga en cuenta que los grupos proyectivos asociados a estos grupos también son lineales, aunque menos obvio. Por ejemplo, el grupo PSL 2 ( R ) no es un grupo de matrices 2 × 2, pero tiene una representación fiel como matrices 3 × 3 (la representación adjunta ), que se puede utilizar en el caso general.
Muchos grupos de Lie son lineales, pero no todos. La cobertura universal de SL 2 ( R ) no es lineal, como lo son muchos grupos solubles , por ejemplo, el cociente del grupo de Heisenberg por un subgrupo cíclico central .
Los subgrupos discretos de grupos de Lie clásicos (por ejemplo, celosías o grupos delgados ) también son ejemplos de grupos lineales interesantes.
Grupos finitos
Un grupo finito G de orden n es lineal de grado a lo más n sobre cualquier campo K . Este enunciado a veces se denomina teorema de Cayley, y simplemente resulta del hecho de que la acción de G sobre el anillo de grupo K [ G ] mediante la multiplicación por la izquierda (o la derecha) es lineal y fiel. Los grupos finitos de tipo Lie (grupos clásicos sobre campos finitos) son una familia importante de grupos simples finitos , ya que ocupan la mayoría de los espacios en la clasificación de grupos simples finitos .
Grupos de matriz finamente generados
Si bien el ejemplo 4 anterior es demasiado general para definir una clase distintiva (incluye todos los grupos lineales), restringir a un conjunto de índices finito I , es decir, a grupos generados finitamente permite construir muchos ejemplos interesantes. Por ejemplo:
- El lema ping-pong se puede utilizar para construir muchos ejemplos de grupos lineales que son grupos libres (por ejemplo, el grupo generado por está libre).
- Se sabe que los grupos aritméticos se generan de forma finita. Por otro lado, es un problema difícil encontrar un conjunto explícito de generadores para un grupo aritmético dado.
- Los grupos de trenzas (que se definen como un grupo presentado de forma finita ) tienen una representación lineal fiel en un espacio vectorial complejo de dimensión finita donde los generadores actúan mediante matrices explícitas. [3]
Ejemplos de geometría
En algunos casos, se puede demostrar que el grupo fundamental de una variedad es lineal mediante el uso de representaciones que provienen de una estructura geométrica. Por ejemplo, todas las superficies cerradas del género al menos 2 son superficies hiperbólicas de Riemann . A través del teorema de uniformización esto da lugar a una representación de su grupo fundamental en el grupo de isometría del plano hiperbólico , que es isomorfo a PSL 2 ( R ) y esto realiza el grupo fundamental como un grupo fucsiano . Una generalización de esta construcción viene dada por la noción de una estructura ( G , X ) en una variedad.
Otro ejemplo es el grupo fundamental de variedades Seifert . Por otro lado, no se sabe si todos los grupos fundamentales de variedades 3 son lineales. [4]
Propiedades
Si bien los grupos lineales son una amplia clase de ejemplos, entre todos los grupos infinitos se distinguen por muchas propiedades notables. Los grupos lineales finamente generados tienen las siguientes propiedades:
- Son residualmente finitos ;
- Teorema de Burnside : un grupo de torsión de exponente finito que es lineal sobre un campo de característica 0 debe ser finito; [5]
- Teorema de Schur: un grupo lineal de torsión es localmente finito . En particular, si se genera de manera finita, entonces es finito. [6]
- Lema de Selberg: cualquier grupo lineal generado de forma finita contiene un subgrupo libre de torsión de índice finito . [7]
La alternativa de Tits establece que un grupo lineal contiene un grupo libre no abeliano o es virtualmente solucionable (es decir, contiene un grupo solucionable de índice finito). Esto tiene muchas consecuencias adicionales, por ejemplo:
- la función de Dehn de un grupo lineal generado finitamente solo puede ser polinomial o exponencial;
- un grupo lineal susceptible es virtualmente solucionable, en particular susceptible elemental ;
- la conjetura de von Neumann es cierta para grupos lineales.
Ejemplos de grupos no lineales
No es difícil dar ejemplos generados infinitamente de grupos no lineales: por ejemplo, el grupo abeliano infinito 2 ( Z / 2 Z ) N no puede ser lineal ya que si este fuera el caso sería diagonalizable y finito [ cita requerida ] . Dado que el grupo simétrico de un conjunto infinito contiene este grupo, tampoco es lineal. Encontrar ejemplos generados de forma finita es más sutil y, por lo general, requiere el uso de una de las propiedades enumeradas anteriormente.
- Dado que cualquier grupo finitamente lineal es residualmente finito, no puede ser a la vez simple e infinito. Por lo tanto finitamente generado grupos simples infinitas, por ejemplo el grupo de Thompson F , y el grupo de Higman , no son lineales.
- Por el corolario de la alternativa de Tits mencionada anteriormente, los grupos de crecimiento intermedio como el grupo de Grigorchuk no son lineales.
- Nuevamente, por la alternativa de Tits, como se mencionó anteriormente, todos los contraejemplos de la conjetura de von Neumann no son lineales. Esto incluye el grupo F de Thompson y los grupos de monstruos Tarski .
- Según el teorema de Burnside, los grupos de torsión infinitos, generados de forma finita, como los grupos de monstruos de Tarski, no pueden ser lineales.
- Hay ejemplos de grupos hiperbólicos que no son lineales, obtenidos como cocientes de celosías en los grupos de Lie Sp ( n , 1). [8]
- Se sabe que el grupo de automorfismo externo Out (F n ) del grupo libre no es lineal para n al menos 4. [9]
- En contraste con el caso de los grupos de trenzas, es una cuestión abierta si el grupo de clases de mapeo de una superficie de género> 1 es lineal.
Teoría de la representación
Una vez que se ha establecido que un grupo es lineal, es interesante intentar encontrarle representaciones lineales fieles "óptimas", por ejemplo de la dimensión más baja posible, o incluso intentar clasificar todas sus representaciones lineales (incluidas aquellas que no son fieles ). Estas preguntas son objeto de la teoría de la representación . Las partes destacadas de la teoría incluyen:
- Teoría de la representación de grupos finitos ;
- Teoría de la representación de grupos de Lie y más generalmente grupos algebraicos lineales.
La teoría de la representación de infinitos grupos generados de forma finita es, en general, misteriosa; el objeto de interés en este caso son las variedades de caracteres del grupo, que se comprenden bien solo en muy pocos casos, por ejemplo, grupos libres, grupos de superficie y, más generalmente, retículas en grupos de Lie (por ejemplo, a través del teorema de superrigidez de Margulis y otras rigideces resultados).
Notas
- ↑ Hall (2015)
- ^ Rossmann (2002)
- ^ Stephen J. Bigelow (13 de diciembre de 2000), "Los grupos de trenzas son lineales" (PDF) , Journal of the American Mathematical Society , 14 (2): 471–486, doi : 10.1090 / S0894-0347-00-00361- 1 , S2CID 18936096
- ^ Aschenbrenner, Matthias; Friedl, Stefan; Wilton, Henry (2015). 3 grupos de variedades . Serie EMS de Conferencias en Matemáticas. Matemáticas europeas. Soc. Sección 9.6.
- ^ Wehrfritz 1973 , p. 15.
- ^ Wehfritz 1973 , p. 57.
- ^ Alperin, Roger C. (1987). "Una cuenta elemental del lema de Selberg". L'Enseignement Mathématique . 33 .
- ^ Bestvina, Mladen (2004). "Preguntas en la teoría de grupos geométricos" (PDF) . Pregunta 1.15 . Consultado el 17 de agosto de 2016 .
- ^ Formanek, E .; Procesi, C. (1992). "El grupo de automorfismos de un grupo libre no es lineal" . J. Álgebra . 149 (2): 494–499. doi : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90029-l .
Referencias
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups: An Introduction through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 9780198596837.
- Suprnenko, DA (1976). Grupos de matriz . Traducciones de monografías matemáticas. 45 . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1595-4.
- Wehrfritz, BAF (1973). Grupos lineales infinitos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 76 . Springer-Verlag.