En matemáticas , los polinomios exponenciales son funciones en campos , anillos o grupos abelianos que toman la forma de polinomios en una variable y una función exponencial .
Un polinomio exponencial generalmente tiene tanto una variable x como algún tipo de función exponencial E ( x ). En los números complejos ya existe una función exponencial canónica, la función que mapea x a e x . En este contexto, el término polinomio exponencial se usa a menudo para significar polinomios de la forma P ( x , e x ) donde P ∈ C [ x , y ] es un polinomio en dos variables. [1] [2]
No hay nada particularmente especial en C aquí; Los polinomios exponenciales también pueden referirse a dicho polinomio en cualquier campo exponencial o anillo exponencial con su función exponencial tomando el lugar de e x anterior. [3] De manera similar, no hay razón para tener una variable, y un polinomio exponencial en n variables sería de la forma P ( x 1 , ..., x n , e x 1 , ..., e x n ) , donde P es un polinomio en 2 n variables.
Para polinomios exponenciales formales sobre un campo K procedemos de la siguiente manera. [4] Sea W un submódulo Z - generado finitamente de K y considere sumas finitas de la forma
donde f i son polinomios en K [ X ] y exp ( w i X ) son símbolos formales indexados por w i en W sujetos a exp ( u + v ) = exp ( u ) exp ( v ).
Un marco más general donde se puede encontrar el término 'polinomio exponencial' es el de funciones exponenciales en grupos abelianos. De manera similar a cómo se definen las funciones exponenciales en campos exponenciales, dado un grupo abeliano topológico G, un homomorfismo de G al grupo aditivo de los números complejos se llama función aditiva, y un homomorfismo al grupo multiplicativo de números complejos distintos de cero se llama exponencial función, o simplemente una exponencial. Un producto de funciones de aditivos y exponenciales se denomina monomio exponencial, y una combinación lineal de estos es entonces una exponencial polinomio en G . [5] [6]