El teorema del elemento adicional (EET) es una técnica analítica desarrollada por RD Middlebrook para simplificar el proceso de derivar puntos de conducción y funciones de transferencia para circuitos electrónicos lineales . [1] Al igual que el teorema de Thévenin, el teorema del elemento extra descompone un problema complicado en varios más simples.
Las funciones de punto de conducción y transferencia generalmente se pueden encontrar utilizando las leyes de circuito de Kirchhoff . Sin embargo, pueden resultar varias ecuaciones complicadas que ofrecen poca información sobre el comportamiento del circuito. Utilizando el teorema del elemento extra, un elemento de circuito (como una resistencia ) se puede quitar de un circuito y se puede encontrar el punto de activación o la función de transferencia deseados. Al eliminar el elemento que más complica el circuito (como un elemento que crea retroalimentación ), la función deseada puede ser más fácil de obtener. A continuación, se deben encontrar dos factores correccionales y combinarlos con la función derivada previamente para encontrar la expresión exacta.
La forma general del teorema del elemento extra se denomina teorema del elemento extra N y permite eliminar varios elementos del circuito a la vez. [2]
Formulación general
El teorema del elemento extra (único) expresa cualquier función de transferencia como un producto de la función de transferencia con ese elemento eliminado y un factor de corrección. El término del factor de corrección consiste en la impedancia del elemento adicional y dos impedancias del punto de activación vistas por el elemento adicional: la impedancia del punto de activación de inyección nula doble y la impedancia del punto de activación de inyección única. Debido a que, en general, un elemento adicional se puede eliminar mediante un cortocircuito o un circuito abierto del elemento, existen dos formas equivalentes de EET: [3]
o,
- .
Donde las funciones de transferencia de dominio de Laplace y las impedancias en las expresiones anteriores se definen de la siguiente manera: H ( s ) es la función de transferencia con el elemento adicional presente. H ∞ ( s ) es la función de transferencia con el elemento adicional en circuito abierto. H 0 ( s ) es la función de transferencia con el elemento adicional en cortocircuito. Z ( s ) es la impedancia del elemento extra. Z d ( s ) es la impedancia del punto de activación de inyección única "vista" por el elemento adicional. Z n ( s ) es la impedancia del punto de activación de doble inyección nula "vista" por el elemento extra.
El teorema del elemento extra prueba de manera incidental que cualquier función de transferencia de circuito eléctrico puede expresarse como una función bilineal de cualquier elemento de circuito en particular.
Impedancias de los puntos de conducción
Impedancia de punto de conducción de inyección única
Z d ( s ) se encuentra haciendo que la entrada a la función de transferencia del sistema sea cero (cortocircuito en una fuente de voltaje o circuito abierto en una fuente de corriente) y determinando la impedancia a través de los terminales a los que se conectará el elemento adicional con el elemento adicional ausente . Esta impedancia es la misma que la impedancia equivalente de Thévenin.
Impedancia del punto de conducción de doble inyección nula
Z n ( s ) se encontraron mediante la sustitución del elemento adicional con una segunda fuente de señal de prueba (ya sea fuente de corriente o fuente de tensión según el caso). Entonces, Z n ( s ) se define como la relación entre el voltaje entre los terminales de esta segunda fuente de prueba y la corriente que sale de su terminal positivo cuando la salida de la función de transferencia del sistema se anula para cualquier valor de la entrada principal a la transferencia del sistema. función.
En la práctica, se puede encontrar Z n ( s ) trabajando hacia atrás a partir de los hechos de que la salida de la función de transferencia se hace cero y que se desconoce la entrada principal a la función de transferencia. Luego, utilizando técnicas de análisis de circuitos convencionales para expresar tanto el voltaje a través de los terminales de la fuente de prueba del elemento adicional, v n ( s ) , como la corriente que sale de los terminales positivos de la fuente de prueba del elemento adicional, i n ( s ) , y calculando. Aunque el cálculo de Z n ( s ) es un proceso desconocido para muchos ingenieros, sus expresiones suelen ser mucho más simples que las de Z d ( s ) porque la anulación de la salida de la función de transferencia a menudo conduce a que otros voltajes / corrientes en el circuito sean cero. , que puede permitir la exclusión de ciertos componentes del análisis.
Caso especial con función de transferencia como auto impedancia
Como caso especial, el EET se puede utilizar para encontrar la impedancia de entrada de una red con la adición de un elemento designado como "extra". En este caso, Z d es igual que la impedancia de la señal de fuente de corriente de prueba de entrada hecha cero o de manera equivalente con la entrada en circuito abierto. Asimismo, dado que la señal de salida de la función de transferencia puede considerarse como el voltaje en los terminales de entrada, Z n se encuentra cuando el voltaje de entrada es cero, es decir, los terminales de entrada están en cortocircuito. Por lo tanto, para esta aplicación en particular, el EET se puede escribir como:
dónde
- es la impedancia elegida como elemento extra
- es la impedancia de entrada con Z eliminado (o infinito)
- es la impedancia vista por el elemento extra Z con la entrada en corto (o puesta a cero)
- es la impedancia vista por el elemento extra Z con la entrada abierta (o infinita)
Calcular estos tres términos puede parecer un esfuerzo adicional, pero a menudo son más fáciles de calcular que la impedancia de entrada general.
Ejemplo
Considere el problema de encontrar para el circuito en la Figura 1 usando el EET (tenga en cuenta que todos los valores de los componentes son la unidad por simplicidad). Si el condensador (sombreado gris) se indica como elemento extra, entonces
- .
Quitando este condensador del circuito,
- .
Calculando la impedancia vista por el capacitor con la entrada en corto,
- .
Calculando la impedancia vista por el condensador con la entrada abierta,
- .
Por lo tanto, usando el EET,
- .
Este problema se resolvió calculando tres impedancias de puntos de conducción simples mediante inspección.
Amplificadores de retroalimentación
El EET también es útil para analizar amplificadores de retroalimentación de bucle único y múltiple. En este caso, el EET puede tomar la forma del modelo de ganancia asintótica .
Ver también
Otras lecturas
- Funciones de transferencia de circuito lineal de Christophe Basso : Introducción a las técnicas analíticas rápidas, primera edición, Wiley, IEEE Press, 2016, 978-1119236375
Referencias
- ^ Vorpérian, Vatché (2002). Técnicas de análisis rápido para circuitos eléctricos y electrónicos . Cambridge Reino Unido / Nueva York: Cambridge University Press. págs. 61-106. ISBN 978-0-521-62442-8.
- ^ Vorpérian, Vatché (23 de mayo de 2002). págs. 137-139 . ISBN 978-0-521-62442-8.
- ^ Middlebrook RD (1989). "Inyección doble nula y el teorema del elemento extra" (PDF) . Transacciones IEEE sobre educación . 32 (3): 167–180. doi : 10.1109 / 13.34149 .