Para definir la longitud extrema, primero debemos introducir varias cantidades relacionadas. Dejarser un conjunto abierto en el plano complejo. Suponer quees una colección de curvas rectificables en. Sies medible con Borel , entonces para cualquier curva rectificable dejamos
denotar el -longitud de , dónde denota el elemento euclidiano de longitud. (Es posible que.) ¿Qué significa esto realmente? Si está parametrizado en algún intervalo , luego es la integral de la función medible de Borel con respecto a la medida de Borel en para lo cual la medida de cada subintervalo es la longitud de la restricción de a . En otras palabras, es la integral Lebesgue-Stieltjes , dónde es la longitud de la restricción de a . También establece
El area de Se define como
y la longitud extrema de es
donde el supremo está por encima de todo Borel medible con . Si contiene algunas curvas no rectificables y denota el conjunto de curvas rectificables en , luego se define como .
El término módulo (conforme) de se refiere a .
La distancia extrema en entre dos conjuntos en es la longitud extrema de la colección de curvas en con un punto final en un conjunto y el otro punto final en el otro conjunto.
En esta sección, la longitud extrema se calcula en varios ejemplos. Los primeros tres de estos ejemplos son realmente útiles en aplicaciones de longitud extrema.
Distancia extrema en rectángulo
Arregle algunos números positivos , y deja ser el rectángulo . Dejar ser el conjunto de todas las curvas de longitud finita que cruzan el rectángulo de izquierda a derecha, en el sentido de que está en el borde izquierdo del rectángulo, y está en el borde derecho . (Los límites existen necesariamente, porque asumimos que tiene una longitud finita). Ahora demostraremos que en este caso
Primero, podemos tomar en . Esto da y . La definición de como un supremo luego da .
La desigualdad opuesta no es tan fácil. Considere un Borel arbitrario medible tal que . Para, dejar (donde nos estamos identificando con el plano complejo). Luego, y por lo tanto . La última desigualdad se puede escribir como
Integrando esta desigualdad sobre implica
- .
Ahora un cambio de variable y una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz dan
- . Esto da .
Por lo tanto, , según sea necesario.
Como muestra la prueba, la longitud extrema de es la misma que la longitud extrema de la colección de curvas mucho más pequeña .
Cabe señalar que la longitud extrema de la familia de curvas que conectan el borde inferior de hasta el borde superior de satisface , por el mismo argumento. Por lo tanto,. Es natural referirse a esto como una propiedad de dualidad de longitud extrema, y una propiedad de dualidad similar ocurre en el contexto de la siguiente subsección. Observe que la obtención de un límite inferior en es generalmente más fácil que obtener un límite superior, ya que el límite inferior implica elegir un valor razonablemente bueno y estimando , mientras que el límite superior implica probar una declaración sobre todos los posibles . Por esta razón, la dualidad suele ser útil cuando se puede establecer: cuando sabemos que, un límite inferior en se traduce en un límite superior en .
Distancia extrema en el anillo
Dejar y ser dos radios satisfactorios . Dejar ser el anillo y deja y ser los dos componentes de frontera de : y . Considere la distancia extrema en Entre y ; que es la longitud extrema de la colección de curvas conectando y .
Para obtener un límite inferior en , nosotros tomamos . Entonces para orientado desde a
Por otro lado,
Concluimos que
Ahora vemos que esta desigualdad es realmente una igualdad al emplear un argumento similar al dado anteriormente para el rectángulo. Considere un Borel arbitrario medible tal que . Para dejar denotar la curva . Luego
Nos integramos sobre y aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, para obtener:
Cuadrar da
Esto implica el límite superior . Cuando se combina con el límite inferior, esto produce el valor exacto de la longitud extrema:
Longitud extrema alrededor de un anillo
Dejar y sea como arriba, pero ahora deja ser la colección de todas las curvas que se enrollan una vez alrededor del anillo, separando de . Usando los métodos anteriores, no es difícil demostrar que
Esto ilustra otro ejemplo de dualidad de longitud extrema.
Longitud extrema de trayectorias topológicamente esenciales en plano proyectivo
En los ejemplos anteriores, el extremal que maximizó la relación y dio que la longitud extrema correspondía a una métrica plana. En otras palabras, cuando la métrica euclidiana de Riemann del dominio plano correspondiente se escala por, la métrica resultante es plana. En el caso del rectángulo, esta era solo la métrica original, pero para el anillo, la métrica extrema identificada es la métrica de un cilindro . Ahora discutimos un ejemplo en el que una métrica extrema no es plana. El plano proyectivo con la métrica esférica se obtiene identificando puntos antípodas en la esfera unitaria encon su métrica esférica de Riemann. En otras palabras, este es el cociente de la esfera por el mapa.. Dejardenotan el conjunto de curvas cerradas en este plano proyectivo que no son homotópicas nulas . (Cada curva ense obtiene proyectando una curva sobre la esfera desde un punto hasta su antípoda). Entonces la métrica esférica es extrema para esta familia de curvas. [1] (La definición de longitud extrema se extiende fácilmente a las superficies de Riemann). Por lo tanto, la longitud extrema es.
Longitud extrema de caminos que contienen un punto
Si es cualquier colección de caminos, todos los cuales tienen un diámetro positivo y contienen un punto , luego . Esto sigue, por ejemplo, tomando
- que satisface y por cada rectificable .
La longitud extrema satisface algunas propiedades simples de monotonicidad. Primero, está claro que si, luego . Además, la misma conclusión es válida si cada curva contiene una curva como una subcurva (es decir, es la restricción de a un subintervalo de su dominio). Otra desigualdad a veces útil es
Esto es claro si o si , en cuyo caso el lado derecho se interpreta como . Así que suponga que este no es el caso y sin pérdida de generalidad suponga que las curvas enson todos rectificables. Dejar satisfacer por . Colocar. Luego y , lo que prueba la desigualdad.
Dejar ser un homeomorfismo conforme (un mapa holomórfico biyectivo ) entre dominios planos. Suponer que es una colección de curvas en , y deja denotar las curvas de la imagen debajo . Luego. Esta declaración de invariancia conforme es la razón principal por la que el concepto de longitud extrema es útil.
Aquí hay una prueba de invariancia conforme. Dejar denotar el conjunto de curvas tal que es rectificable, y deja , que es el conjunto de curvas rectificables en . Suponer quees medible con Borel. Definir
Un cambio de variables da
Ahora suponga que es rectificable y se fija . Formalmente, podemos usar un cambio de variables nuevamente:
Para justificar este cálculo formal, suponga que se define en algún intervalo , dejar denotar la longitud de la restricción de a , y deja ser definido de manera similar con en lugar de . Entonces es fácil ver que, y esto implica , según sea necesario. Las igualdad anteriores dan,
Si supiéramos que cada curva en y era rectificable, esto probaría ya que también podemos aplicar lo anterior con reemplazado por su inverso y intercambiado con . Queda por manejar las curvas no rectificables.
Ahora deja denotar el conjunto de curvas rectificables tal que no es rectificable. Afirmamos que. De hecho, toma, dónde . Entonces, un cambio de variable como el anterior da
Para y tal que está contenido en , tenemos
- . [ dudoso - discutir ]
Por otro lado, suponga que es tal que es ilimitado. Colocar. Luego es al menos la longitud de la curva (de un intervalo en a ). Desde, resulta que . Así, de hecho,.
Usando los resultados de la sección anterior , tenemos
- .
Ya hemos visto que . Por lo tanto,. La desigualdad inversa se mantiene por simetría y, por lo tanto, se establece la invariancia conforme.
Suponer que es un gráfico y es una colección de caminos en . Hay dos variantes de longitud extrema en este entorno. Para definir la longitud extrema del borde , originalmente introducido por RJ Duffin , [2] considere una función. La-la longitud de un camino se define como la suma de sobre todos los bordes del camino, contados con multiplicidad. El " área " Se define como . La longitud extrema deentonces se define como antes. Sise interpreta como una red de resistencias , donde cada borde tiene una unidad de resistencia, entonces la resistencia efectiva entre dos conjuntos de vértices es precisamente la longitud extrema del borde de la colección de caminos con un punto final en un conjunto y el otro punto final en el otro conjunto. Por lo tanto, la longitud extrema discreta es útil para estimaciones en la teoría de potencial discreto .
Otra noción de longitud extrema discreta que es apropiada en otros contextos es la longitud extrema del vértice , donde, el area es , y la longitud de un camino es la suma de sobre los vértices que recorre el camino, con multiplicidad.