Mapeo cuasiconformal
En el análisis complejo matemático , un mapeo cuasiconformal , introducido por Grötzsch (1928) y nombrado por Ahlfors (1935) , es un homeomorfismo entre dominios planos que en primer orden lleva círculos pequeños a elipses pequeñas de excentricidad acotada .
Intuitivamente, sea f : D → D ′ una orientación que conserva el homeomorfismo entre conjuntos abiertos en el plano. Si f es continuamente diferenciable , entonces es K -cuasiconformal si la derivada de f en cada punto mapea círculos a elipses con excentricidad acotada por K.
Supongamos que f : D → D ′ donde D y D ′ son dos dominios en C . Hay una variedad de definiciones equivalentes, dependiendo de la suavidad requerida de f . Si se supone que f tiene derivadas parciales continuas , entonces f es cuasiconformal siempre que satisfaga la ecuación de Beltrami
donde Ω( z ) > 0. Entonces f satisface ( 1 ) precisamente cuando es una transformación conforme de D equipado con esta métrica al dominio D ′ equipado con la métrica euclidiana estándar. La función f se llama entonces μ-conforme . Más generalmente, la diferenciabilidad continua de f puede ser reemplazada por la condición más débil de que f esté en el espacio de Sobolev W 1,2 ( D ) de funciones cuyas derivadas distribucionales de primer orden están en L 2 ( D ). En este caso, se requiere que f sea una solución débil de ( 1 ). Cuando μ es cero en casi todas partes, cualquier homeomorfismo en W 1,2 ( D ) que sea una solución débil de ( 1 ) es conforme.
Sin apelar a una métrica auxiliar, considere el efecto del retroceso bajo f de la métrica euclidiana habitual. La métrica resultante viene dada por
que, en relación con la métrica euclidiana de fondo , tiene valores propios
