En matemáticas, la desigualdad de Fortuin-Kasteleyn-Ginibre (FKG) es una desigualdad de correlación , una herramienta fundamental en mecánica estadística y combinatoria probabilística (especialmente gráficas aleatorias y el método probabilístico ), debido a Cees M. Fortuin , Pieter W. Kasteleyn , y Jean Ginibre ( 1971 ). De manera informal, dice que en muchos sistemas aleatorios, los eventos crecientes están correlacionados positivamente, mientras que un evento creciente y uno decreciente están correlacionados negativamente. Se obtuvo mediante el estudio del modelo de conglomerados aleatorios .
Una versión anterior, para el caso especial de las variables iid , llamada desigualdad de Harris , se debe a Theodore Edward Harris ( 1960 ), ver más abajo . Una generalización de la desigualdad de FKG es la desigualdad de Holley (1974) a continuación, y una generalización aún mayor es el teorema de las "cuatro funciones" de Ahlswede-Daykin (1978) . Además, tiene la misma conclusión que las desigualdades de Griffiths , pero las hipótesis son diferentes.
La desigualdad
Dejar ser una red distributiva finita , y μ una función no negativa en ella, que se supone que satisface la condición de red ( FKG ) (a veces una función que satisface esta condición se llama log supermodular ) es decir,
para todo x , y en la celosía.
La desigualdad FKG luego dice que para dos funciones monótonamente creciente ƒ y g de, se mantiene la siguiente desigualdad de correlación positiva:
La misma desigualdad (correlación positiva) es verdadera cuando ambos ƒ y g están disminuyendo. Si uno aumenta y el otro disminuye, entonces están correlacionados negativamente y la desigualdad anterior se invierte.
Declaraciones similares son válidas de manera más general, cuando no es necesariamente finito, ni siquiera contable. En ese caso, μ debe ser una medida finita y la condición de la red debe definirse mediante eventos de cilindro ; ver, por ejemplo, la Sección 2.2 de Grimmett (1999) .
Para pruebas, ver Fortuin, Kasteleyn & Ginibre (1971) o la desigualdad Ahlswede-Daykin (1978) . Además, a continuación se proporciona un bosquejo aproximado, debido a Holley (1974) , utilizando un argumento de acoplamiento de cadenas de Markov .
Variaciones terminológicas
La condición de celosía para μ también se llama positividad total multivariante y, a veces, la condición de FKG fuerte ; El término condición de FKG ( multiplicativa ) también se utiliza en la literatura más antigua.
La propiedad de μ de que las funciones crecientes están correlacionadas positivamente también se denomina tener asociaciones positivas o la condición FKG débil .
Por lo tanto, el teorema de FKG puede reformularse como "la condición de FKG fuerte implica la condición de FKG débil".
Un caso especial: la desigualdad de Harris
Si la celosía está totalmente ordenado , entonces la condición de celosía se satisface trivialmente para cualquier medida μ . Para este caso, la desigualdad FKG es la desigualdad suma de Chebyshev : si las dos funciones crecientes toman valores y , entonces (podemos asumir que la medida μ es uniforme)
De manera más general, para cualquier medida de probabilidad μ eny funciones crecientes ƒ y g ,
que se sigue inmediatamente de
La condición de la celosía se satisface trivialmente también cuando la celosía es el producto de celosías totalmente ordenadas, , y es una medida de producto. A menudo, todos los factores (tanto las redes como las medidas) son idénticos, es decir, μ es la distribución de probabilidad de iid variables aleatorias.
La desigualdad FKG para el caso de una medida de producto se conoce también como la desigualdad de Harris en honor a Harris ( Harris 1960 ), quien la encontró y usó en su estudio de la percolación en el plano. Una prueba de la desigualdad de Harris que utiliza el truco de integral doble anterior ense puede encontrar, por ejemplo, en la Sección 2.2 de Grimmett (1999) .
Ejemplos sencillos
Un ejemplo típico es el siguiente. Colorea cada hexágono de la celosía infinita en forma de panal de negro con probabilidad y blanco con probabilidad , independientemente unos de otros. Sean a, b, c, d cuatro hexágonos, no necesariamente distintos. Dejar y sean los eventos de que hay un camino negro desde a hasta b , y un camino negro desde c hasta d , respectivamente. Entonces, la desigualdad de Harris dice que estos eventos están correlacionados positivamente:. En otras palabras, asumir la presencia de un camino solo puede aumentar la probabilidad del otro.
Del mismo modo, si coloreamos aleatoriamente los hexágonos dentro de un tablero hexagonal en forma de rombo , entonces los eventos de que hay un cruce negro desde el lado izquierdo del tablero al lado derecho se correlacionan positivamente con tener un cruce negro desde el lado superior al inferior. Por otro lado, tener un cruce negro de izquierda a derecha se correlaciona negativamente con un cruce blanco de arriba a abajo, ya que el primero es un evento creciente (en la cantidad de oscuridad), mientras que el segundo es decreciente. De hecho, en cualquier color del tablero de hexágonos ocurre exactamente uno de estos dos eventos; es por eso que hex es un juego bien definido.
En el gráfico aleatorio de Erdős-Rényi , la existencia de un ciclo hamiltoniano se correlaciona negativamente con la 3-colorabilidad del gráfico , ya que el primero es un evento creciente, mientras que el segundo es decreciente.
Ejemplos de mecánica estadística
En mecánica estadística, la fuente habitual de medidas que satisfacen la condición de celosía (y por tanto la desigualdad FKG) es la siguiente:
Si es un conjunto ordenado (como ), y es un gráfico finito o infinito , entonces el conjunto de -configuraciones valoradas es un poset que es una red distributiva.
Ahora si es un potencial submodular (es decir, una familia de funciones
uno para cada finito , de modo que cada es submodular ), entonces se define a los hamiltonianos correspondientes como
Si μ es una medida de Gibbs extrema para este hamiltoniano en el conjunto de configuraciones, entonces es fácil demostrar que μ satisface la condición de celosía, ver Sheffield (2005) .
Un ejemplo clave es el modelo Ising en un gráfico.. Dejar, llamados giros, y . Aprovecha el siguiente potencial:
La submodularidad es fácil de comprobar; intuitivamente, tomar el mínimo o el máximo de dos configuraciones tiende a disminuir el número de giros en desacuerdo. Entonces, dependiendo del gráfico y el valor de , podría haber una o más medidas extremas de Gibbs, ver, por ejemplo, Georgii, Häggström & Maes (2001) y Lyons (2000) .
Una generalización: la desigualdad de Holley
La desigualdad de Holley , debida a Richard Holley ( 1974 ), establece que las expectativas
de una función monotónicamente creciente ƒ en una red distributiva finita con respecto a dos funciones positivas μ 1 , μ 2 en la red cumplen la condición
siempre que las funciones satisfagan la condición de Holley ( criterio )
para todo x , y en la celosía.
Para recuperar la desigualdad FKG : Si mu satisface la condición de celosía y ƒ y g están aumentando las funciones de, entonces μ 1 ( x ) = g ( x ) μ ( x ) y μ 2 ( x ) = μ ( x ) satisfarán la condición de tipo reticular de la desigualdad de Holley. Entonces la desigualdad de Holley establece que
que es solo la desigualdad de FKG.
En cuanto a FKG, la desigualdad de Holley se deriva de la desigualdad de Ahlswede-Daykin .
Debilitamiento de la condición de celosía: monotonicidad
Considere el caso habitual de siendo un producto para un conjunto finito . Se ve fácilmente que la condición de celosía en μ implica la siguiente monotonicidad , que tiene la virtud de que a menudo es más fácil de verificar que la condición de celosía:
Siempre que se fija un vértice y dos configuraciones φ y ψ fuera de v tales que para todos , la distribución condicional μ de φ ( v ) dada estocásticamente domina la distribución condicional μ de ψ ( v ) dado.
Ahora, si μ satisface esta propiedad de monotonicidad, eso ya es suficiente para que se mantenga la desigualdad de FKG (asociaciones positivas).
Aquí hay un esbozo de la prueba, debido a Holley (1974) : a partir de cualquier configuración inicial en, se puede ejecutar una cadena de Markov simple (el algoritmo de Metropolis ) que usa variables aleatorias uniformes [0,1] independientes para actualizar la configuración en cada paso, de modo que la cadena tenga una medida estacionaria única, el μ dado . La monotonicidad de μ implica que la configuración en cada paso es una función monótona de variables independientes, por lo tanto, la versión de medida del producto de Harris implica que tiene asociaciones positivas. Por lo tanto, la medida estacionaria límite μ también tiene esta propiedad.
La propiedad de monotonicidad tiene una versión natural para dos compases, diciendo que μ 1 domina condicionalmente a μ 2 . De nuevo, es fácil ver que si μ 1 y μ 2 satisfacen la condición de tipo reticular de la desigualdad de Holley , entonces μ 1 domina condicionalmente a μ 2 . Por otro lado, un argumento de acoplamiento en cadena de Markov similar al anterior, pero ahora sin invocar la desigualdad de Harris, muestra que la dominación puntual condicional, de hecho, implica dominación estocástica . La dominación estocástica equivale a decir quepara todo f creciente , obtenemos una prueba de la desigualdad de Holley. (Y, por lo tanto, también una prueba de la desigualdad de FKG, sin utilizar la desigualdad de Harris).
Ver Holley (1974) y Georgii, Häggström & Maes (2001) para más detalles.
Ver también
- Desigualdad de Ahlswede-Daykin
- Desigualdad XYZ
Referencias
- Fishburn, PC (2001) [1994], "FKG inequality" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Fortuin, CM; Kasteleyn, PW; Ginibre, J. (1971), "Desigualdades de correlación en algunos conjuntos parcialmente ordenados" , Communications in Mathematical Physics , 22 (2): 89–103, Bibcode : 1971CMaPh..22 ... 89F , doi : 10.1007 / BF01651330 , MR 0309498 , S2CID 1011815
- Friedli, S .; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas de celosía: una introducción matemática concreta . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.
- Georgii, HO .; Häggström, O .; Maes, C. (2001), "La geometría aleatoria de las fases de equilibrio", Transiciones de fase y fenómenos críticos , 18 , Academic Press, San Diego, CA, págs. 1-142, arXiv : math / 9905031 , doi : 10.1016 / S1062 -7901 (01) 80008-2 , ISBN 9780122203183, Señor 2014387 , S2CID 119137791
- Grimmett, GR (1999), Percolación. Segunda edición , Grundlehren der mathischen Wissenschaften, 321 , Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-03981-6 , ISBN 3-540-64902-6, MR 1707339
- Harris, TE (1960), "Un límite inferior para la probabilidad crítica en una cierta filtración", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 56 (1): 13-20, Bibcode : 1960PCPS ... 56 ... 13H , doi : 10.1017 / S0305004100034241 , Señor 0115221
- Holley, R. (1974), "Remarks on the FKG inequalities" , Communications in Mathematical Physics , 36 (3): 227-231, Bibcode : 1974CMaPh..36..227H , doi : 10.1007 / BF01645980 , MR 0341552 , S2CID 73649690
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- Sheffield, S. (2005), "Superficies aleatorias", Astérisque , 304 , arXiv : math / 0304049 , Bibcode : 2003math ...... 4049S , MR 2251117