En matemáticas , la medida de Gibbs , llamada así por Josiah Willard Gibbs , es una medida de probabilidad que se ve con frecuencia en muchos problemas de la teoría de la probabilidad y la mecánica estadística . Es una generalización del conjunto canónico a sistemas infinitos. El conjunto canónico da la probabilidad de que el sistema X esté en el estado x (de manera equivalente, de que la variable aleatoria X tenga el valor x ) como
Aquí, E ( x ) es una función del espacio de estados a los números reales; en aplicaciones físicas, E ( x ) se interpreta como la energía de la configuración x . El parámetro β es un parámetro libre; en física, es la temperatura inversa . La constante de normalización Z ( β ) es la función de partición . Sin embargo, en sistemas infinitos, la energía total ya no es un número finito y no puede usarse en la construcción tradicional de la distribución de probabilidad de un conjunto canónico. Los enfoques tradicionales de la física estadística estudiaron el límite de las propiedades intensivas cuando el tamaño de un sistema finito se acerca al infinito (el límite termodinámico ). Cuando la función de energía se puede escribir como una suma de términos que involucran solo variables de un subsistema finito, la noción de una medida de Gibbs proporciona un enfoque alternativo. Las medidas de Gibbs fueron propuestas por teóricos de la probabilidad como Dobrushin , Lanford y Ruelle y proporcionaron un marco para estudiar directamente los sistemas infinitos, en lugar de tomar el límite de los sistemas finitos.
Una medida es una medida de Gibbs si las probabilidades condicionales que induce en cada subsistema finito satisfacen una condición de consistencia: si todos los grados de libertad fuera del subsistema finito están congelados, el conjunto canónico para el subsistema sujeto a estas condiciones de frontera coincide con las probabilidades en el sistema de Gibbs. medida condicionada a los grados de libertad congelados.
El teorema de Hammersley-Clifford implica que cualquier medida de probabilidad que satisfaga una propiedad de Markov es una medida de Gibbs para una elección apropiada de función de energía (definida localmente). Por lo tanto, la medida de Gibbs se aplica a problemas generalizados fuera de la física , tales como las redes de Hopfield , redes de Markov , redes lógicas de Markov , y juegos posibles limitadamente racionales de la teoría de juegos y la economía. Una medida de Gibbs en un sistema con interacciones locales (rango finito) maximiza la densidad de entropía para una densidad de energía esperada dada ; o, de forma equivalente, minimiza la densidad de energía libre .
La medida de Gibbs de un sistema infinito no es necesariamente única, en contraste con el conjunto canónico de un sistema finito, que es único. La existencia de más de una medida de Gibbs se asocia con fenómenos estadísticos como ruptura de simetría y coexistencia de fase .
Física estadística
El conjunto de medidas de Gibbs en un sistema es siempre convexo, [1] por lo que hay una medida de Gibbs única (en cuyo caso se dice que el sistema es " ergódico "), o hay infinitas (y el sistema se llama " no ergódico "). En el caso no ergódico, las medidas de Gibbs se pueden expresar como el conjunto de combinaciones convexas de un número mucho menor de medidas especiales de Gibbs conocidas como "estados puros" (no confundir con la noción relacionada pero distinta de estados puros en mecánica cuántica ) . En aplicaciones físicas, el hamiltoniano (la función de energía) generalmente tiene algún sentido de localidad , y los estados puros tienen la propiedad de descomposición de grupos de que los "subsistemas muy separados" son independientes. En la práctica, los sistemas físicamente realistas se encuentran en uno de estos estados puros.
Si el hamiltoniano posee una simetría, entonces una medida de Gibbs única (es decir, ergódica) será necesariamente invariante bajo la simetría. Pero en el caso de medidas de Gibbs múltiples (es decir, no ergódicas), los estados puros típicamente no son invariantes bajo la simetría hamiltoniana. Por ejemplo, en el modelo de Ising ferromagnético infinito por debajo de la temperatura crítica, hay dos estados puros, los estados "mayormente arriba" y "mayormente abajo", que se intercambian bajo el modelo simetría.
Propiedad de Markov
Un ejemplo de la propiedad de Markov se puede ver en la medida de Gibbs del modelo de Ising . La probabilidad de que un espín dado σ k esté en el estado s podría, en principio, depender de los estados de todos los demás espines del sistema. Por tanto, podemos escribir la probabilidad como
- .
Sin embargo, en un modelo de Ising con solo interacciones de rango finito (por ejemplo, interacciones con el vecino más cercano), en realidad tenemos
- ,
donde N k es una vecindad del sitio k . Es decir, la probabilidad en el sitio k depende solo de los espines en una vecindad finita. Esta última ecuación tiene la forma de una propiedad de Markov local . Las medidas con esta propiedad a veces se denominan campos aleatorios de Markov . Más fuertemente, lo contrario también es cierto: cualquier distribución de probabilidad positiva (densidad distinta de cero en todas partes) que tenga la propiedad de Markov se puede representar como una medida de Gibbs para una función de energía apropiada. [2] Este es el teorema de Hammersley-Clifford .
Definición formal en celosías
Lo que sigue es una definición formal para el caso especial de un campo aleatorio en una red. Sin embargo, la idea de una medida de Gibbs es mucho más general que esto.
La definición de un campo aleatorio de Gibbs en una celosía requiere cierta terminología:
- La celosía : un conjunto contable.
- El espacio de un solo espín : un espacio de probabilidad .
- El espacio de configuración :, dónde y .
- Dada una configuración ω ∈ Ω y un subconjunto, la restricción de ω a Λ es. Si y , luego la configuración es la configuración cuyas restricciones a Λ 1 y Λ 2 son y , respectivamente.
- El conjunto de todos los subconjuntos finitos de .
- Para cada subconjunto , es la σ -álgebra generada por la familia de funciones, dónde . La unión de estas σ -álgebras como varía sobre es el álgebra de conjuntos de cilindros en la red.
- El potencial : una familiade funciones Φ A : Ω → R tales que
- Para cada es - medible , lo que significa que depende solo de la restricción (y lo hace de forma mensurable).
- Para todos y ω ∈ Ω , existe la siguiente serie: [ cuando se define como? ]
Interpretamos Φ A como la contribución a la energía total (el hamiltoniano) asociada a la interacción entre todos los puntos de conjunto finito A . Luegocomo la contribución a la energía total de todos los conjuntos finitos A que cumplen. Tenga en cuenta que la energía total es típicamente infinita, pero cuando "localizamos" a cada puede ser finito, esperamos.
- El hamiltoniano encon condiciones de contorno , para el potencial Φ , se define por
- dónde .
- La función de partición encon condiciones de contorno y la temperatura inversa β > 0 (para el potencial Φ y λ ) se define por
- dónde
- es la medida del producto
- Un potencial Φ es λ -admisible si es finito para todos y β > 0 .
- Una medida de probabilidad μ en es una medida de Gibbs para un λ -potencial admisible Φ si satisface la ecuación de Dobrushin-Lanford-Ruelle (DLR)
- para todos y .
Un ejemplo
Para ayudar a comprender las definiciones anteriores, aquí están las cantidades correspondientes en el ejemplo importante del modelo de Ising con interacciones vecinas más cercanas (constante de acoplamiento J ) y un campo magnético ( h ), en Z d :
- La celosía es simplemente .
- El espacio de un solo giro es S = {−1, 1}.
- El potencial está dado por
Ver también
- Distribución de Boltzmann
- Familia exponencial
- Algoritmo de Gibbs
- Muestreo de Gibbs
- Sistema de partículas interactivas
- Juego potencial
- Softmax
- Autómatas celulares estocásticos
Referencias
- ^ "Medidas de Gibbs" (PDF) .
- ^ Ross Kindermann y J. Laurie Snell, Campos aleatorios de Markov y sus aplicaciones (1980) Sociedad matemática estadounidense, ISBN 0-8218-5001-6
Otras lecturas
- Georgii, H.-O. (2011) [1988]. Medidas de Gibbs y transiciones de fase (2ª ed.). Berlín: de Gruyter. ISBN 978-3-11-025029-9.
- Friedli, S .; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas de celosía: una introducción matemática concreta . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.