Interferómetro de Fabry-Pérot

En óptica , un interferómetro de Fabry-Pérot ( FPI ) o etalon es una cavidad óptica hecha de dos superficies reflectantes paralelas (es decir, espejos delgados ). Las ondas ópticas pueden atravesar la cavidad óptica solo cuando están en resonancia con ella. Lleva el nombre de Charles Fabry y Alfred Perot , quienes desarrollaron el instrumento en 1899. ^{[1] [2] [3]} Etalon es del francés étalon , que significa "calibre de medición" o "estándar". ^[4]

Franjas de interferencia, mostrando una estructura fina , de un etalón de Fabry-Pérot. La fuente es una lámpara de deuterio enfriada .

Los etalones se utilizan ampliamente en telecomunicaciones , láseres y espectroscopia para controlar y medir las longitudes de onda de la luz. Los avances recientes en la técnica de fabricación permiten la creación de interferómetros Fabry-Pérot sintonizables muy precisos. El dispositivo es técnicamente un interferómetro cuando se puede cambiar la distancia entre las dos superficies (y con él la longitud de resonancia), y un etalón cuando la distancia es fija (sin embargo, los dos términos se usan a menudo indistintamente).

Descripción básica

Interferómetro de Fabry-Pérot, utilizando un par de planos ópticos parcialmente reflectantes y ligeramente acuñados. El ángulo de la cuña está muy exagerado en esta ilustración; sólo se necesita una fracción de grado para evitar las franjas fantasma. Las imágenes de baja delicadeza frente a las de alta delicadeza corresponden a reflejos de espejo del 4% (vidrio desnudo) y del 95%.

El corazón del interferómetro de Fabry-Pérot es un par de planos ópticos de vidrio parcialmente reflectantes espaciados de micrómetros a centímetros, con las superficies reflectantes enfrentadas entre sí. (Alternativamente, un etalón de Fabry-Pérot usa una sola placa con dos superficies reflectantes paralelas). Los planos en un interferómetro a menudo se hacen en forma de cuña para evitar que las superficies traseras produzcan franjas de interferencia; las superficies traseras a menudo también tienen un revestimiento antirreflectante .

En un sistema típico, la iluminación es proporcionada por una fuente difusa colocada en el plano focal de una lente colimadora . Una lente de enfoque después del par de planos produciría una imagen invertida de la fuente si los planos no estuvieran presentes; toda la luz emitida desde un punto de la fuente se enfoca en un solo punto en el plano de imagen del sistema. En la ilustración adjunta, solo se traza un rayo emitido desde el punto A en la fuente. A medida que el rayo pasa a través de los planos emparejados, se refleja de forma múltiple para producir múltiples rayos transmitidos que son recogidos por la lente de enfoque y llevados al punto A 'en la pantalla. El patrón de interferencia completo toma la apariencia de un conjunto de anillos concéntricos. La nitidez de los anillos depende de la reflectividad de los planos. Si la reflectividad es alta, lo que da como resultado un factor Q alto , la luz monocromática produce un conjunto de anillos estrechos y brillantes sobre un fondo oscuro. Se dice que un interferómetro de Fabry-Pérot con Q alto tiene una gran delicadeza .

Aplicaciones

Un dispositivo comercial de Fabry-Perot

• Las redes de telecomunicaciones que emplean multiplexación por división de longitud de onda tienen multiplexores add-drop con bancos de etalones de diamante o sílice fundida sintonizada en miniatura . Se trata de pequeños cubos iridiscentes de unos 2 mm de lado, montados en pequeños bastidores de alta precisión. Los materiales se eligen para mantener distancias estables de espejo a espejo y para mantener frecuencias estables incluso cuando la temperatura varía. Se prefiere el diamante porque tiene una mayor conducción de calor y todavía tiene un bajo coeficiente de expansión. En 2005, algunas empresas de equipos de telecomunicaciones comenzaron a utilizar etalones sólidos que a su vez son fibras ópticas. Esto elimina la mayoría de las dificultades de montaje, alineación y enfriamiento.
• Los filtros dicroicos se fabrican depositando una serie de capas etalónicas sobre una superficie óptica mediante deposición de vapor . Estos filtros ópticos suelen tener bandas reflectantes y de paso más exactas que los filtros absorbentes. Cuando se diseñan correctamente, funcionan a menor temperatura que los filtros absorbentes porque pueden reflejar longitudes de onda no deseadas. Los filtros dicroicos se utilizan ampliamente en equipos ópticos como fuentes de luz, cámaras, equipos astronómicos y sistemas láser.
• Los medidores de onda ópticos y algunos analizadores de espectro óptico utilizan interferómetros Fabry-Pérot con diferentes rangos espectrales libres para determinar la longitud de onda de la luz con gran precisión.
• Los resonadores láser a menudo se describen como resonadores Fabry-Pérot, aunque para muchos tipos de láser la reflectividad de un espejo es cercana al 100%, lo que lo hace más similar a un interferómetro Gires-Tournois . Los láseres de diodos semiconductores a veces utilizan una verdadera geometría Fabry-Pérot, debido a la dificultad de recubrir las caras de los extremos del chip. Los láseres de cascada cuántica a menudo emplean cavidades de Fabry-Pérot para sostener el láser sin la necesidad de ningún recubrimiento de facetas, debido a la alta ganancia de la región activa. ^[5]
• Los etalones a menudo se colocan dentro del resonador láser cuando se construyen láseres monomodo. Sin un etalón, un láser generalmente producirá luz en un rango de longitud de onda correspondiente a varios modos de cavidad , que son similares a los modos Fabry-Pérot. Insertar un etalón en la cavidad del láser, con una delicadeza bien elegida y un rango espectral libre, puede suprimir todos los modos de la cavidad excepto uno, cambiando así el funcionamiento del láser de multimodo a monomodo.
• Los etalones de Fabry-Pérot se pueden utilizar para prolongar la duración de la interacción en la espectrometría de absorción láser , en particular en las técnicas de reducción de la cavidad .
• Se puede usar un etalón de Fabry-Pérot para hacer un espectrómetro capaz de observar el efecto Zeeman , donde las líneas espectrales están demasiado juntas para distinguirlas con un espectrómetro normal.
• En astronomía, un etalón se utiliza para seleccionar una única transición atómica para la obtención de imágenes. La más común es la línea H-alfa del sol . La línea Ca-K del sol también se representa comúnmente usando etalones.
• El sensor de metano para Marte (MSM) a bordo del Mangalyaan de la India es un ejemplo de un instrumento Fabry-Perot. Fue el primer instrumento de Fabry Perot en el espacio cuando se lanzó Mangalyaan. ^[6] Como no distinguía la radiación absorbida por el metano de la radiación absorbida por el dióxido de carbono y otros gases, más tarde se denominó mapeador de albedo. ^[7]
• En la detección de ondas gravitacionales , se utiliza una cavidad de Fabry-Pérot para almacenar fotones durante casi un milisegundo mientras rebotan hacia arriba y hacia abajo entre los espejos. Esto aumenta el tiempo que una onda gravitacional puede interactuar con la luz, lo que da como resultado una mejor sensibilidad a bajas frecuencias. Este principio es utilizado por detectores como LIGO y Virgo , que consisten en un interferómetro de Michelson con una cavidad de Fabry-Pérot con una longitud de varios kilómetros en ambos brazos. Las cavidades más pequeñas, generalmente llamadas limpiadores de modo , se utilizan para el filtrado espacial y la estabilización de frecuencia del láser principal.

Teoría

Pérdidas de resonador, luz desacoplada, frecuencias de resonancia y formas de líneas espectrales

La respuesta espectral de un resonador de Fabry-Pérot se basa en la interferencia entre la luz lanzada en él y la luz que circula en el resonador. La interferencia constructiva ocurre si los dos haces están en fase , lo que conduce a una mejora resonante de la luz dentro del resonador. Si los dos haces están desfasados, solo una pequeña parte de la luz lanzada se almacena dentro del resonador. La luz almacenada, transmitida y reflejada se modifica espectralmente en comparación con la luz incidente.

Suponga un resonador Fabry-Pérot de dos espejos de longitud geométrica ${\displaystyle \ell }$, relleno homogéneamente con un medio de índice de refracción ${\displaystyle n}$. La luz se lanza al resonador con una incidencia normal. El tiempo de ida y vuelta${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$ de luz viajando en el resonador con velocidad ${\displaystyle c=c_{0}/n}$, dónde ${\displaystyle c_{0}}$es la velocidad de la luz en el vacío y el rango espectral libre ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ son dadas por

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

Las reflectividades del campo eléctrico y de la intensidad. ${\displaystyle r_{i}}$ y ${\displaystyle R_{i}}$, respectivamente, en el espejo ${\displaystyle i}$ están

${\displaystyle |r_{i}|^{2}=R_{i}.}$

Si no hay otras pérdidas de resonador, la caída de la intensidad de la luz por viaje de ida y vuelta se cuantifica mediante la constante de velocidad de caída de desacoplamiento ${\displaystyle 1/\tau _{\rm {out}},}$

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}},}$

y el tiempo de desintegración de los fotones ${\displaystyle \tau _{c}}$del resonador viene dado por ^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Con ${\displaystyle \phi (\nu )}$ cuantificar el cambio de fase de un solo paso que exhibe la luz cuando se propaga de un espejo al otro, el cambio de fase de ida y vuelta en frecuencia ${\displaystyle \nu }$se acumula a ^[8]

${\displaystyle 2\phi (\nu )=2\pi \nu t_{\rm {RT}}.}$

Las resonancias ocurren a frecuencias en las que la luz exhibe interferencia constructiva después de un viaje de ida y vuelta. Cada modo de resonador con su índice de modo${\displaystyle q}$, dónde ${\displaystyle q}$ es un número entero en el intervalo [${\displaystyle -\infty }$, ..., −1, 0, 1, ..., ${\displaystyle \infty }$], está asociado con una frecuencia de resonancia ${\displaystyle \nu _{q}}$ y número de onda ${\displaystyle k_{q}}$,

${\displaystyle \nu _{q}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow k_{q}={\frac {2\pi q\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{c}}.}$

Dos modos con valores opuestos ${\displaystyle \pm q}$ y ${\displaystyle \pm k}$ de índice modal y número de onda, respectivamente, que representan físicamente direcciones de propagación opuestas, ocurren en el mismo valor absoluto ${\displaystyle \left|\nu _{q}\right|}$de la frecuencia. ^[9]

El campo eléctrico en descomposición a frecuencia. ${\displaystyle \nu _{q}}$ está representado por una oscilación armónica amortiguada con una amplitud inicial de ${\displaystyle E_{q,s}}$ y una constante de tiempo de decaimiento de ${\displaystyle 2\tau _{c}}$. En notación fasorial, se puede expresar como ^[8]

${\displaystyle E_{q}(t)=E_{q,s}e^{i2\pi \nu _{q}t}e^{-{\frac {t}{2\tau _{c}}}}.}$

La transformación de Fourier del campo eléctrico en el tiempo proporciona el campo eléctrico por intervalo de frecuencia unitario,

${\displaystyle {\tilde {E}}_{q}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }E_{q}(t)e^{-i2\pi \nu t}\,dt=E_{q,s}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-1}+i2\pi (\nu -\nu _{q})}}.}$

Cada modo tiene una forma de línea espectral normalizada por intervalo de frecuencia unitario dado por

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\tau _{c}}}\left|{\frac {{\tilde {E}}_{q}(\nu )}{E_{q,s}}}\right|^{2}={\frac {1}{\tau _{c}}}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-2}+4\pi ^{2}(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

cuya integral de frecuencia es la unidad. Presentamos el ancho de línea de ancho completo a la mitad del máximo (FWHM)${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ de la forma de la línea espectral de Lorentz, obtenemos

${\displaystyle \Delta \nu _{c}={\frac {1}{2\pi \tau _{c}}}\Rightarrow {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}/2}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

expresado en términos de ancho de línea de medio ancho a medio máximo (HWHM) ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/2}$ o el ancho de línea FWHM ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$. Calibrado a una altura máxima de la unidad, obtenemos las líneas de Lorentzian:

${\displaystyle \gamma _{q,L}(\nu )={\frac {\pi }{2}}\Delta \nu _{c}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {(\Delta \nu _{c}/2)^{2}}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {(\Delta \nu _{c})^{2}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}}.}$

Al repetir la transformación de Fourier anterior para todos los modos con índice de modo ${\displaystyle q}$ en el resonador, se obtiene el espectro de modo completo del resonador.

Dado que el ancho de línea ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ y el rango espectral libre ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ son independientes de la frecuencia, mientras que en el espacio de longitud de onda el ancho de línea no se puede definir correctamente y el rango espectral libre depende de la longitud de onda, y dado que las frecuencias de resonancia ${\displaystyle \nu _{q}}$ escala proporcional a la frecuencia, la respuesta espectral de un resonador Fabry-Pérot se analiza y muestra de forma natural en el espacio de frecuencia.

Distribución genérica de Airy: el factor de mejora de la resonancia interna

Campos eléctricos en un resonador Fabry-Pérot. ^[8] Las reflectividades del espejo de campo eléctrico son ${\displaystyle r_{1}}$ y ${\displaystyle r_{2}}$. Se indican los campos eléctricos característicos producidos por un campo eléctrico. ${\displaystyle E_{\rm {inc}}}$ incidente en el espejo 1: ${\displaystyle E_{\rm {refl,1}}}$ inicialmente reflejado en el espejo 1, ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ lanzado a través del espejo 1, ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$ y ${\displaystyle E_{\text{b-circ}}}$ circulando dentro del resonador en dirección de propagación hacia adelante y hacia atrás, respectivamente, ${\displaystyle E_{\rm {RT}}}$ propagarse dentro del resonador después de un viaje de ida y vuelta, ${\displaystyle E_{\rm {trans}}}$ transmitido a través del espejo 2, ${\displaystyle E_{\rm {back}}}$ transmitido a través del espejo 1, y el campo total ${\displaystyle E_{\rm {refl}}}$propagándose hacia atrás. La interferencia ocurre en los lados izquierdo y derecho del espejo 1 entre ${\displaystyle E_{\rm {refl,1}}}$ y ${\displaystyle E_{\rm {back}}}$, Resultando en ${\displaystyle E_{\rm {refl}}}$y entre ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ y ${\displaystyle E_{\rm {RT}}}$, Resultando en ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$, respectivamente.

La respuesta del resonador de Fabry-Pérot a un campo eléctrico que incide en el espejo 1 se describe mediante varias distribuciones de Airy (nombradas en honor al matemático y astrónomo George Biddell Airy ) que cuantifican la intensidad de la luz en la dirección de propagación hacia adelante o hacia atrás en diferentes posiciones dentro o fuera el resonador con respecto a la intensidad de la luz lanzada o incidente. La respuesta del resonador de Fabry-Pérot se obtiene más fácilmente mediante el uso del enfoque de campo circulante. ^[10] Este enfoque asume un estado estable y relaciona los diversos campos eléctricos entre sí (ver figura "Campos eléctricos en un resonador Fabry-Pérot").

El campo ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$ puede estar relacionado con el campo ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ que se lanza al resonador por

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}.}$

La distribución genérica de Airy, que considera únicamente los procesos físicos exhibidos por la luz dentro del resonador, se deriva como la intensidad que circula en el resonador en relación con la intensidad lanzada, ^[8]

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$representa la mejora de resonancia interna espectralmente dependiente que el resonador proporciona a la luz lanzada en él (ver figura "Mejora de resonancia en un resonador Fabry-Pérot"). En las frecuencias de resonancia${\displaystyle \nu _{q}}$, dónde ${\displaystyle \sin(\phi )}$ es igual a cero, el factor de mejora de la resonancia interna es

${\displaystyle A_{\rm {circ}}(\nu _{q})={\frac {1}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Otras distribuciones de Airy

Mejora de la resonancia en un resonador Fabry-Pérot. ^[8] (arriba) Mejora de la resonancia interna espectralmente dependiente, que iguala la distribución genérica de Airy ${\displaystyle A_{\text{circ}}}$. La luz lanzada al resonador se ve reforzada de manera resonante por este factor. Para la curva con ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9}$, el valor pico está en ${\displaystyle A_{\text{circ}}(\nu _{q})=100}$, fuera de la escala de ordenadas. (abajo) Mejora de resonancia externa espectralmente dependiente, igualando la distribución de Airy ${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }}$. La luz que incide sobre el resonador se ve reforzada de manera resonante por este factor.

Una vez que se establece la mejora de la resonancia interna, la distribución genérica de Airy, todas las demás distribuciones de Airy se pueden deducir mediante factores de escala simples. ^[8] Dado que la intensidad lanzada en el resonador es igual a la fracción transmitida de la intensidad incidente en el espejo 1,

${\displaystyle I_{\text{laun}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{inc}},}$

y las intensidades transmitidas a través del espejo 2, reflejadas en el espejo 2 y transmitidas a través del espejo 1 son las fracciones transmitidas y reflejadas / transmitidas de la intensidad que circula dentro del resonador,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{trans}}&=\left(1-R_{2}\right)I_{\text{circ}},\\I_{\text{b-circ}}&=R_{2}I_{\text{circ}},\\I_{\text{back}}&=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{b-circ}},\end{aligned}}}$

respectivamente, las otras distribuciones de Airy ${\displaystyle A}$ con respecto a la intensidad lanzada ${\displaystyle I_{\text{laun}}}$ y ${\displaystyle A^{\prime }}$ con respecto a la intensidad del incidente ${\displaystyle I_{\text{inc}}}$son ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{circ}}&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}},\\A_{\text{circ}}'&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}'={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}'={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}'={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}'={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}}',\\A_{\text{circ}}'&=\left(1-R_{1}\right)A_{\text{circ}}.\end{aligned}}}$

El índice "emitir" denota distribuciones de Airy que consideran la suma de intensidades emitidas en ambos lados del resonador.

La intensidad transmitida por la espalda ${\displaystyle I_{\text{back}}}$no se puede medir, porque también la luz inicialmente retro-reflejada se suma a la señal que se propaga hacia atrás. El caso medible de la intensidad resultante de la interferencia de ambos campos eléctricos que se propagan hacia atrás da como resultado la distribución de Airy ^[8]

${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{refl}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left({{\sqrt {R_{1}}}-{\sqrt {R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Se puede demostrar fácilmente que en un resonador Fabry-Pérot, a pesar de la ocurrencia de interferencias constructivas y destructivas, la energía se conserva en todas las frecuencias:

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }+A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}+I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}=1.}$

El factor de mejora de la resonancia externa (consulte la figura "Mejora de la resonancia en un resonador Fabry-Pérot") es ^[8]

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {I_{\text{circ}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

En las frecuencias de resonancia ${\displaystyle \nu _{q}}$, dónde ${\displaystyle \sin(\phi )}$ es igual a cero, el factor de mejora de la resonancia externa es

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Distribución aireada ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ (líneas continuas), correspondiente a la luz transmitida a través de un resonador Fabry-Pérot, calculada para diferentes valores de las reflectividades ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$, y comparación con una sola línea Lorentziana (líneas discontinuas) calculada para el mismo ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$. ^[8] A la mitad del máximo (línea negra), con reflectividades decrecientes, el ancho de línea FWHM ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}}$ de la distribución de Airy se amplía en comparación con el ancho de línea de FWHM ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ de su línea lorentziana correspondiente: ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9,0.6,0.32,0.172}$ resultados en ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}/\Delta \nu _{c}=1.001,1.022,1.132,1.717}$, respectivamente.

Por lo general, la luz se transmite a través de un resonador Fabry-Pérot. Por lo tanto, una distribución de Airy que se aplica a menudo es ^[8]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{\text{circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Describe la fracción ${\displaystyle I_{\text{trans}}}$ de la intensidad ${\displaystyle I_{\text{inc}}}$ de una fuente de luz incidente sobre el espejo 1 que se transmite a través del espejo 2 (ver figura "Distribución aireada ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$"). Su valor máximo en las frecuencias de resonancia ${\displaystyle \nu _{q}}$ es

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}}}.}$

Para ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$el valor pico es igual a la unidad, es decir, se transmite toda la luz que incide sobre el resonador; en consecuencia, no se refleja ninguna luz,${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }=0}$, como resultado de la interferencia destructiva entre los campos ${\displaystyle E_{{\text{refl}},1}}$ y ${\displaystyle E_{\text{back}}}$.

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$se ha derivado en el enfoque de campo circulante ^[10] al considerar un cambio de fase adicional de${\displaystyle e^{i\pi /2}}$ durante cada transmisión a través de un espejo,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{circ}}&=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\\E_{\text{trans}}&=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\end{aligned}}}$

Resultando en

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{trans}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left|-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }\right|^{2}}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Alternativamente, ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$puede obtenerse mediante el enfoque de ida y vuelta-decaimiento ^[11] trazando el número infinito de viajes de ida y vuelta que el campo eléctrico incidente${\displaystyle E_{\text{inc}}}$ exhibe después de entrar en el resonador y acumular el campo eléctrico ${\displaystyle E_{\text{trans}}}$transmitido en todos los viajes de ida y vuelta. El campo transmitido después de la primera propagación y los campos cada vez más pequeños transmitidos después de cada propagación consecutiva a través del resonador son

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{trans,1}}&=E_{\text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-i\phi }=-E_{\text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-i\phi },\\E_{{\text{trans}},m+1}&=E_{{\text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2\phi },\end{aligned}}}$

respectivamente. Explotando

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\Rightarrow E_{\text{trans}}=\sum _{m=1}^{\infty }E_{{\text{trans}},m}=E_{\text{inc}}{\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}}$

resultados en el mismo ${\displaystyle E_{\text{trans}}/E_{\text{inc}}}$ como arriba, por lo tanto la misma distribución de Airy ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$deriva. Sin embargo, este enfoque es físicamente engañoso, porque supone que la interferencia tiene lugar entre los haces desacoplados después del espejo 2, fuera del resonador, en lugar de los haces lanzados y circulantes después del espejo 1, dentro del resonador. Dado que es la interferencia la que modifica el contenido espectral, la distribución de la intensidad espectral dentro del resonador sería la misma que la distribución de la intensidad espectral incidente, y no se produciría ninguna mejora de resonancia dentro del resonador.

Distribución aireada como suma de perfiles de modo

Físicamente, la distribución de Airy es la suma de los perfiles de modo de los modos del resonador longitudinal. ^[8] Partiendo del campo eléctrico${\displaystyle E_{circ}}$ circulando dentro del resonador, se considera el decaimiento exponencial en el tiempo de este campo a través de ambos espejos del resonador, Fourier lo transforma en espacio de frecuencia para obtener las formas de las líneas espectrales normalizadas ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )}$, lo divide por el tiempo de ida y vuelta ${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$ para tener en cuenta cómo la intensidad total del campo eléctrico circulante se distribuye longitudinalmente en el resonador y se acopla por unidad de tiempo, lo que da como resultado los perfiles de modo emitido,

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1}{t_{\rm {RT}}}}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu ),}$

y luego suma los perfiles de modo emitido de todos los modos longitudinales ^[8]

${\displaystyle \sum _{q=-\infty }^{\infty }\gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1-R_{1}R_{2}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}=A_{\rm {emit}},}$

igualando así la distribución de Airy ${\displaystyle A_{\rm {emit}}}$.

Los mismos factores de escala simples que proporcionan las relaciones entre las distribuciones individuales de Airy también proporcionan las relaciones entre ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )}$y los otros perfiles de modo: ^[8]

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}},}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}}^{\prime },}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }=(1-R_{1})\gamma _{q,{\rm {circ}}}.}$

Caracterización del resonador Fabry-Pérot: ancho de línea Lorentziano y delicadeza

El criterio de Taylor de resolución espectral propone que dos líneas espectrales se pueden resolver si las líneas individuales se cruzan a la mitad de la intensidad. Al lanzar luz al resonador Fabry-Pérot, midiendo la distribución de Airy, se puede derivar la pérdida total del resonador Fabry-Pérot recalculando el ancho de línea de Lorentz.${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$, mostrado (línea azul) en relación con el rango espectral libre en la figura "Ancho de línea de Lorentz y finura versus ancho de línea de Airy y finura de un resonador Fabry-Pérot".

Ancho de línea Lorentziano y delicadeza versus ancho de línea Airy y delicadeza de un resonador Fabry-Pérot. ^[8] [Izquierda] Ancho de línea Lorentziano relativo ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ (curva azul), ancho de línea Airy relativo ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$(curva verde) y su aproximación (curva roja). [Derecha] delicadeza lorentziana ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ (curva azul), delicadeza Airy ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ (curva verde) y su aproximación (curva roja) en función del valor de reflectividad ${\displaystyle R_{1}R_{2}}$. Las soluciones exactas del ancho de línea de Airy y la delicadeza (líneas verdes) se descomponen correctamente en ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$, equivalente a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$, mientras que sus aproximaciones (líneas rojas) no se descomponen incorrectamente. Recuadros: Región ${\displaystyle R_{1}R_{2}<0.1}$.

El significado físico de la delicadeza lorentziana ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$de un resonador Fabry-Pérot. ^[8] Se muestra la situación de ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$, en el cual ${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$, es decir, dos líneas Lorentzianas adyacentes (líneas discontinuas de color, solo se muestran 5 líneas para mayor claridad para cada frecuencia de resonancia, ${\displaystyle \nu _{q}}$) cruzan a la mitad del máximo (línea negra continua) y se alcanza el criterio de Taylor para resolver espectralmente dos picos en la distribución de Airy resultante (línea púrpura continua, la suma de 5 líneas que se ha normalizado a la intensidad máxima de sí misma).

Las líneas Lorentzianas subyacentes pueden resolverse siempre que se obedezca el criterio de Taylor (ver figura "El significado físico de la finura Lorentziana"). En consecuencia, se puede definir la delicadeza lorentziana de un resonador Fabry-Pérot: ^[8]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{c}}}={\frac {2\pi }{-\ln(R_{1}R_{2})}}.}$

Se muestra como la línea azul en la figura "El significado físico de la delicadeza de Lorentz". La delicadeza lorentziana${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$tiene un significado físico fundamental: describe qué tan bien se pueden resolver las líneas de Lorentz que subyacen a la distribución de Airy al medir la distribución de Airy. En el punto donde

${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow R_{1}R_{2}=e^{-2\pi }\approx 0.001867,}$

equivalente a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$, se alcanza el criterio de Taylor para la resolución espectral de una única distribución de Airy. Bajo este punto,${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}<1}$, no se pueden distinguir dos líneas espectrales. Para reflectividades de espejo iguales, este punto ocurre cuando${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$. Por lo tanto, el ancho de línea de las líneas de Lorentz que subyacen a la distribución de Airy de un resonador de Fabry-Pérot se puede resolver midiendo la distribución de Airy, por lo que sus pérdidas de resonador se pueden determinar espectroscópicamente hasta este punto.

Escaneo del resonador Fabry-Pérot: ancho de línea aireado y delicadeza

El significado físico de la finura de Airy ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ of a Fabry-Pérot resonator. ^[8] When scanning the Fabry-Pérot length (or the angle of incident light), Airy distributions (colored solid lines) are created by signals at individual frequencies. The experimental result of the measurement is the sum of the individual Airy distributions (black dashed line). If the signals occur at frequencies ${\displaystyle \nu _{m}=\nu _{q}+m\Delta \nu _{\rm {Airy}}}$, where ${\displaystyle m}$ is an integer starting at ${\displaystyle q}$, the Airy distributions at adjacent frequencies are separated from each other by the linewidth ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$, thereby fulfilling the Taylor criterion for the spectroscopic resolution of two adjacent peaks. The maximum number of signals that can be resolved is ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$. Since in this specific example the reflectivities ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.59928}$ have been chosen such that ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6}$ is an integer, the signal for ${\displaystyle m={\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ at the frequency ${\displaystyle \nu _{q}+{\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\nu _{q}+\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ coincides with the signal for ${\displaystyle m=q}$ at ${\displaystyle \nu _{q}}$. In this example, a maximum of ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6}$ peaks can be resolved when applying the Taylor criterion.

Example of a Fabry-Pérot resonator with (top) frequency-dependent mirror reflectivity and (bottom) the resulting distorted mode profiles ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }}$ of the modes with indices ${\displaystyle q=2000,2001,2002}$, the sum of 6 million mode profiles (pink dots, displayed for a few frequencies only), and the Airy distribution ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$. ^[8] The vertical dashed lines denote the maximum of the reflectivity curve (black) and the resonance frequencies of the individual modes (colored).

When the Fabry-Pérot resonator is used as a scanning interferometer, i.e., at varying resonator length (or angle of incidence), one can spectroscopically distinguish spectral lines at different frequencies within one free spectral range. Several Airy distributions ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$, each one created by an individual spectral line, must be resolved. Therefore, the Airy distribution becomes the underlying fundamental function and the measurement delivers a sum of Airy distributions. The parameters that properly quantify this situation are the Airy linewidth ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ and the Airy finesse ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$. The FWHM linewidth ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ of the Airy distribution ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$ is^[8]

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right).}$

The Airy linewidth ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ is displayed as the green curve in the figure "Lorentzian linewidth and finesse versus Airy linewidth and finesse of a Fabry-Pérot resonator".

The concept of defining the linewidth of the Airy peaks as FWHM breaks down at ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ (solid red line in the figure "Airy distribution ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$"), because at this point the Airy linewidth instantaneously jumps to an infinite value for ${\displaystyle \arcsin }$ function. For lower reflectivity values of ${\displaystyle R_{1}R_{2}}$, the FWHM linewidth of the Airy peaks is undefined. The limiting case occurs at

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944.}$

For equal mirror reflectivities, this point is reached when ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 17.2\%}$ (solid red line in the figure "Airy distribution ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$").

The finesse of the Airy distribution of a Fabry-Pérot resonator, which is displayed as the green curve in the figure "Lorentzian linewidth and finesse versus Airy linewidth and finesse of a Fabry-Pérot resonator" in direct comparison with the Lorentzian finesse ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$, is defined as^[8]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}={\frac {\pi }{2}}\left[\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)\right]^{-1}.}$

When scanning the length of the Fabry-Pérot resonator (or the angle of incident light), the Airy finesse quantifies the maximum number of Airy distributions created by light at individual frequencies ${\displaystyle \nu _{m}}$ within the free spectral range of the Fabry-Pérot resonator, whose adjacent peaks can be unambiguously distinguished spectroscopically, i.e., they do not overlap at their FWHM (see figure "The physical meaning of the Airy finesse"). This definition of the Airy finesse is consistent with the Taylor criterion of the resolution of a spectrometer. Since the concept of the FWHM linewidth breaks down at ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$, consequently the Airy finesse is defined only until ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$, see the figure "Lorentzian linewidth and finesse versus Airy linewidth and finesse of a Fabry-Pérot resonator".

Often the unnecessary approximation ${\displaystyle \sin {(\phi )}\approx \phi }$ is made when deriving from ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ the Airy linewidth ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$. In contrast to the exact solution above, it leads to

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}\approx \Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {1}{\pi }}{\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}\approx \pi {\frac {\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.}$

This approximation of the Airy linewidth, displayed as the red curve in the figure "Lorentzian linewidth and finesse versus Airy linewidth and finesse of a Fabry-Pérot resonator", deviates from the correct curve at low reflectivities and incorrectly does not break down when ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}>\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$. This approximation is then typically also used to calculate the Airy finesse.

Frequency-dependent mirror reflectivities

The more general case of a Fabry-Pérot resonator with frequency-dependent mirror reflectivities can be treated with the same equations as above, except that the photon decay time ${\displaystyle \tau _{c}(\nu )}$ and linewidth ${\displaystyle \Delta \nu _{c}(\nu )}$ now become local functions of frequency. Whereas the photon decay time is still a well-defined quantity, the linewidth loses its meaning, because it resembles a spectral bandwidth, whose value now changes within that very bandwidth. Also in this case each Airy distribution is the sum of all underlying mode profiles which can be strongly distorted.^[8] An example of the Airy distribution ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ and a few of the underlying mode profiles ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }(\nu )}$ is given in the figure "Example of a Fabry-Pérot resonator with frequency-dependent mirror reflectivity".

Fabry-Pérot resonator with intrinsic optical losses

Intrinsic propagation losses inside the resonator can be quantified by an intensity-loss coefficient ${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}}$ per unit length or, equivalently, by the intrinsic round-trip loss ${\displaystyle L_{\rm {RT}},}$ such that^[12]

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-\alpha _{\rm {loss}}2\ell }=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}.}$

The additional loss shortens the photon-decay time ${\displaystyle \tau _{c}}$ of the resonator:^[12]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}]}}{t_{\rm {RT}}}}+c\alpha _{\rm {loss}}.}$

where ${\displaystyle c}$ is the light speed in cavity. The generic Airy distribution or internal resonance enhancement factor ${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$ is then derived as above by including the propagation losses via the amplitude-loss coefficient ${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}/2}$:^[12]

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-(\alpha _{\rm {loss}}/2)2\ell }e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }}}\Rightarrow }$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

The other Airy distributions can then be derived as above by additionally taking into account the propagation losses. Particularly, the transfer function with loss becomes^[12]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\rm {trans}}}{I_{\rm {inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }A_{\rm {circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Description of the Fabry-Perot resonator in wavelength space

A Fabry–Pérot etalon. Light enters the etalon and undergoes multiple internal reflections.

The transmission of an etalon as a function of wavelength. A high-finesse etalon (red line) shows sharper peaks and lower transmission minima than a low-finesse etalon (blue).

Finesse as a function of reflectivity. Very high finesse factors require highly reflective mirrors.

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Transient analysis of a silicon ( n = 3.4) Fabry–Pérot etalon at normal incidence. The upper animation is for etalon thickness chosen to give maximum transmission while the lower animation is for thickness chosen to give minimum transmission.