Interferómetro de Fabry-Pérot

En óptica , un interferómetro de Fabry-Pérot ( FPI ) o etalon es una cavidad óptica hecha de dos superficies reflectantes paralelas (es decir, espejos delgados ). Las ondas ópticas pueden atravesar la cavidad óptica solo cuando están en resonancia con ella. Lleva el nombre de Charles Fabry y Alfred Perot , quienes desarrollaron el instrumento en 1899. ^{[1] [2] [3]} Etalon proviene del francés étalon , que significa "calibre de medición" o "estándar". ^[4]

Franjas de interferencia, mostrando una estructura fina , de un etalón de Fabry-Pérot. La fuente es una lámpara de deuterio enfriada .

Los etalones se utilizan ampliamente en telecomunicaciones , láseres y espectroscopia para controlar y medir las longitudes de onda de la luz. Los avances recientes en la técnica de fabricación permiten la creación de interferómetros Fabry-Pérot sintonizables muy precisos. El dispositivo es técnicamente un interferómetro cuando se puede cambiar la distancia entre las dos superficies (y con él la longitud de resonancia), y un etalón cuando la distancia es fija (sin embargo, los dos términos a menudo se usan indistintamente).

Descripción básica

Interferómetro de Fabry-Pérot, utilizando un par de planos ópticos parcialmente reflectantes y ligeramente acuñados. El ángulo de la cuña está muy exagerado en esta ilustración; sólo se necesita una fracción de grado para evitar las franjas fantasma. Las imágenes de baja delicadeza frente a las de alta delicadeza corresponden a reflejos de espejo del 4% (vidrio desnudo) y del 95%.

El corazón del interferómetro de Fabry-Pérot es un par de planos ópticos de vidrio parcialmente reflectantes espaciados de micrómetros a centímetros, con las superficies reflectantes enfrentadas entre sí. (Alternativamente, un etalón de Fabry-Pérot usa una sola placa con dos superficies reflectantes paralelas). Los planos en un interferómetro a menudo se hacen en forma de cuña para evitar que las superficies traseras produzcan franjas de interferencia; las superficies traseras a menudo también tienen un revestimiento antirreflectante .

En un sistema típico, la iluminación es proporcionada por una fuente difusa colocada en el plano focal de una lente colimadora . Una lente de enfoque después del par de planos produciría una imagen invertida de la fuente si los planos no estuvieran presentes; toda la luz emitida desde un punto de la fuente se enfoca en un solo punto en el plano de imagen del sistema. En la ilustración adjunta, solo se traza un rayo emitido desde el punto A en la fuente. A medida que el rayo pasa a través de los planos emparejados, se refleja de forma múltiple para producir múltiples rayos transmitidos que son recogidos por la lente de enfoque y llevados al punto A 'en la pantalla. El patrón de interferencia completo toma la apariencia de un conjunto de anillos concéntricos. La nitidez de los anillos depende de la reflectividad de los planos. Si la reflectividad es alta, lo que da como resultado un factor Q alto , la luz monocromática produce un conjunto de anillos estrechos y brillantes sobre un fondo oscuro. Se dice que un interferómetro de Fabry-Pérot con Q alto tiene una gran delicadeza .

Aplicaciones

Un dispositivo comercial de Fabry-Perot

• Las redes de telecomunicaciones que emplean multiplexación por división de longitud de onda tienen multiplexores add-drop con bancos de etalones de diamante o sílice fundida sintonizada en miniatura . Se trata de pequeños cubos iridiscentes de unos 2 mm de lado, montados en pequeños bastidores de alta precisión. Los materiales se eligen para mantener distancias estables de espejo a espejo y para mantener frecuencias estables incluso cuando la temperatura varía. Se prefiere el diamante porque tiene una mayor conducción de calor y todavía tiene un bajo coeficiente de expansión. En 2005, algunas empresas de equipos de telecomunicaciones comenzaron a utilizar etalones sólidos que a su vez son fibras ópticas. Esto elimina la mayoría de las dificultades de montaje, alineación y enfriamiento.
• Los filtros dicroicos se fabrican depositando una serie de capas etalónicas sobre una superficie óptica mediante deposición de vapor . Estos filtros ópticos suelen tener bandas reflectantes y de paso más exactas que los filtros absorbentes. Cuando se diseñan correctamente, funcionan a menor temperatura que los filtros absorbentes porque pueden reflejar longitudes de onda no deseadas. Los filtros dicroicos se utilizan ampliamente en equipos ópticos como fuentes de luz, cámaras, equipos astronómicos y sistemas láser.
• Los medidores de onda ópticos y algunos analizadores de espectro óptico utilizan interferómetros Fabry-Pérot con diferentes rangos espectrales libres para determinar la longitud de onda de la luz con gran precisión.
• Los resonadores láser a menudo se describen como resonadores Fabry-Pérot, aunque para muchos tipos de láser la reflectividad de un espejo es cercana al 100%, lo que lo hace más similar a un interferómetro Gires-Tournois . Los láseres de diodos semiconductores a veces utilizan una verdadera geometría Fabry-Pérot, debido a la dificultad de recubrir las caras de los extremos del chip. Los láseres de cascada cuántica a menudo emplean cavidades de Fabry-Pérot para sostener el láser sin la necesidad de ningún recubrimiento de facetas, debido a la alta ganancia de la región activa. ^[5]
• Los etalones a menudo se colocan dentro del resonador láser cuando se construyen láseres monomodo. Sin un etalón, un láser generalmente producirá luz en un rango de longitud de onda correspondiente a varios modos de cavidad , que son similares a los modos Fabry-Pérot. Insertar un etalón en la cavidad del láser, con una delicadeza bien elegida y un rango espectral libre, puede suprimir todos los modos de la cavidad excepto uno, cambiando así el funcionamiento del láser de multimodo a monomodo.
• Los etalones de Fabry-Pérot se pueden utilizar para prolongar la duración de la interacción en la espectrometría de absorción láser , en particular en las técnicas de reducción de la cavidad .
• Se puede usar un etalón de Fabry-Pérot para hacer un espectrómetro capaz de observar el efecto Zeeman , donde las líneas espectrales están demasiado juntas para distinguirlas con un espectrómetro normal.
• En astronomía, un etalón se utiliza para seleccionar una única transición atómica para la obtención de imágenes. La más común es la línea H-alfa del sol . La línea Ca-K del sol también se representa comúnmente usando etalones.
• El sensor de metano para Marte (MSM) a bordo del Mangalyaan de la India es un ejemplo de un instrumento Fabry-Perot. Fue el primer instrumento de Fabry Perot en el espacio cuando se lanzó Mangalyaan. ^[6] Como no distinguía la radiación absorbida por el metano de la radiación absorbida por el dióxido de carbono y otros gases, más tarde se denominó mapeador de albedo. ^[7]
• En la detección de ondas gravitacionales , se utiliza una cavidad de Fabry-Pérot para almacenar fotones durante casi un milisegundo mientras rebotan hacia arriba y hacia abajo entre los espejos. Esto aumenta el tiempo que una onda gravitacional puede interactuar con la luz, lo que da como resultado una mejor sensibilidad a bajas frecuencias. Este principio es utilizado por detectores como LIGO y Virgo , que consisten en un interferómetro de Michelson con una cavidad de Fabry-Pérot con una longitud de varios kilómetros en ambos brazos. Las cavidades más pequeñas, generalmente llamadas limpiadores de modo , se utilizan para el filtrado espacial y la estabilización de frecuencia del láser principal.

Teoría

Pérdidas de resonador, luz desacoplada, frecuencias de resonancia y formas de líneas espectrales

La respuesta espectral de un resonador de Fabry-Pérot se basa en la interferencia entre la luz lanzada en él y la luz que circula en el resonador. La interferencia constructiva ocurre si los dos haces están en fase , lo que conduce a una mejora resonante de la luz dentro del resonador. Si los dos haces están desfasados, solo una pequeña parte de la luz lanzada se almacena dentro del resonador. La luz almacenada, transmitida y reflejada se modifica espectralmente en comparación con la luz incidente.

Suponga un resonador Fabry-Pérot de dos espejos de longitud geométrica ${\displaystyle \ell }$, relleno homogéneamente con un medio de índice de refracción ${\displaystyle n}$. La luz se lanza al resonador con una incidencia normal. El tiempo de ida y vuelta${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$ de luz viajando en el resonador con velocidad ${\displaystyle c=c_{0}/n}$, dónde ${\displaystyle c_{0}}$es la velocidad de la luz en el vacío y el rango espectral libre ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ son dadas por

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

Las reflectividades del campo eléctrico y de la intensidad. ${\displaystyle r_{i}}$ y ${\displaystyle R_{i}}$, respectivamente, en el espejo ${\displaystyle i}$ están

${\displaystyle |r_{i}|^{2}=R_{i}.}$

Si no hay otras pérdidas de resonador, la caída de la intensidad de la luz por viaje de ida y vuelta se cuantifica mediante la constante de velocidad de caída de desacoplamiento ${\displaystyle 1/\tau _{\rm {out}},}$

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}},}$

y el tiempo de desintegración de fotones ${\displaystyle \tau _{c}}$del resonador viene dado por ^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Con ${\displaystyle \phi (\nu )}$ cuantificar el cambio de fase de un solo paso que exhibe la luz cuando se propaga de un espejo al otro, el cambio de fase de ida y vuelta en frecuencia ${\displaystyle \nu }$se acumula en ^[8]

${\displaystyle 2\phi (\nu )=2\pi \nu t_{\rm {RT}}.}$

Las resonancias ocurren a frecuencias en las que la luz exhibe interferencia constructiva después de un viaje de ida y vuelta. Cada modo de resonador con su índice de modo${\displaystyle q}$, dónde ${\displaystyle q}$ es un número entero en el intervalo [${\displaystyle -\infty }$, ..., −1, 0, 1, ..., ${\displaystyle \infty }$], está asociado con una frecuencia de resonancia ${\displaystyle \nu _{q}}$ y número de onda ${\displaystyle k_{q}}$,

${\displaystyle \nu _{q}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow k_{q}={\frac {2\pi q\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{c}}.}$

Dos modos con valores opuestos ${\displaystyle \pm q}$ y ${\displaystyle \pm k}$ de índice modal y número de onda, respectivamente, que representan físicamente direcciones de propagación opuestas, ocurren en el mismo valor absoluto ${\displaystyle \left|\nu _{q}\right|}$de la frecuencia. ^[9]

El campo eléctrico en descomposición a frecuencia. ${\displaystyle \nu _{q}}$ está representado por una oscilación armónica amortiguada con una amplitud inicial de ${\displaystyle E_{q,s}}$ y una constante de tiempo de decaimiento de ${\displaystyle 2\tau _{c}}$. En notación fasorial, se puede expresar como ^[8]

${\displaystyle E_{q}(t)=E_{q,s}e^{i2\pi \nu _{q}t}e^{-{\frac {t}{2\tau _{c}}}}.}$

La transformación de Fourier del campo eléctrico en el tiempo proporciona el campo eléctrico por intervalo de frecuencia unitario,

${\displaystyle {\tilde {E}}_{q}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }E_{q}(t)e^{-i2\pi \nu t}\,dt=E_{q,s}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-1}+i2\pi (\nu -\nu _{q})}}.}$

Cada modo tiene una forma de línea espectral normalizada por intervalo de frecuencia unitario dado por

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\tau _{c}}}\left|{\frac {{\tilde {E}}_{q}(\nu )}{E_{q,s}}}\right|^{2}={\frac {1}{\tau _{c}}}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-2}+4\pi ^{2}(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

cuya integral de frecuencia es la unidad. Presentamos el ancho de línea de ancho completo a la mitad del máximo (FWHM)${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ de la forma de la línea espectral de Lorentz, obtenemos

${\displaystyle \Delta \nu _{c}={\frac {1}{2\pi \tau _{c}}}\Rightarrow {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}/2}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}},}$

expresado en términos de ancho de línea de medio ancho a medio máximo (HWHM) ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/2}$ o el ancho de línea FWHM ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$. Calibrado a una altura máxima de la unidad, obtenemos las líneas de Lorentzian:

${\displaystyle \gamma _{q,L}(\nu )={\frac {\pi }{2}}\Delta \nu _{c}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {(\Delta \nu _{c}/2)^{2}}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {(\Delta \nu _{c})^{2}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}}.}$

Al repetir la transformación de Fourier anterior para todos los modos con índice de modo ${\displaystyle q}$ en el resonador, se obtiene el espectro de modo completo del resonador.

Dado que el ancho de línea ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ y el rango espectral libre ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ son independientes de la frecuencia, mientras que en el espacio de longitud de onda el ancho de línea no se puede definir correctamente y el rango espectral libre depende de la longitud de onda, y dado que las frecuencias de resonancia ${\displaystyle \nu _{q}}$ escala proporcional a la frecuencia, la respuesta espectral de un resonador Fabry-Pérot se analiza y muestra de forma natural en el espacio de frecuencia.

Distribución genérica de Airy: el factor de mejora de la resonancia interna

Campos eléctricos en un resonador Fabry-Pérot. ^[8] Las reflectividades del espejo de campo eléctrico son ${\displaystyle r_{1}}$ y ${\displaystyle r_{2}}$. Se indican los campos eléctricos característicos producidos por un campo eléctrico. ${\displaystyle E_{\rm {inc}}}$ incidente en el espejo 1: ${\displaystyle E_{\rm {refl,1}}}$ inicialmente reflejado en el espejo 1, ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ lanzado a través del espejo 1, ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$ y ${\displaystyle E_{\text{b-circ}}}$ circulando dentro del resonador en dirección de propagación hacia adelante y hacia atrás, respectivamente, ${\displaystyle E_{\rm {RT}}}$ propagarse dentro del resonador después de un viaje de ida y vuelta, ${\displaystyle E_{\rm {trans}}}$ transmitido a través del espejo 2, ${\displaystyle E_{\rm {back}}}$ transmitido a través del espejo 1, y el campo total ${\displaystyle E_{\rm {refl}}}$propagándose hacia atrás. La interferencia ocurre en los lados izquierdo y derecho del espejo 1 entre ${\displaystyle E_{\rm {refl,1}}}$ y ${\displaystyle E_{\rm {back}}}$, Resultando en ${\displaystyle E_{\rm {refl}}}$y entre ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ y ${\displaystyle E_{\rm {RT}}}$, Resultando en ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$, respectivamente.

La respuesta del resonador de Fabry-Pérot a un campo eléctrico que incide en el espejo 1 se describe mediante varias distribuciones de Airy (nombradas en honor al matemático y astrónomo George Biddell Airy ) que cuantifican la intensidad de la luz en la dirección de propagación hacia adelante o hacia atrás en diferentes posiciones dentro o fuera el resonador con respecto a la intensidad de la luz lanzada o incidente. La respuesta del resonador de Fabry-Pérot se obtiene más fácilmente mediante el uso del enfoque de campo circulante. ^[10] Este enfoque asume un estado estable y relaciona los diversos campos eléctricos entre sí (ver figura "Campos eléctricos en un resonador Fabry-Pérot").

El campo ${\displaystyle E_{\rm {circ}}}$ puede estar relacionado con el campo ${\displaystyle E_{\rm {laun}}}$ que se lanza al resonador por

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}.}$

La distribución genérica de Airy, que considera únicamente los procesos físicos exhibidos por la luz dentro del resonador, se deriva como la intensidad que circula en el resonador en relación con la intensidad lanzada, ^[8]

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$representa la mejora de resonancia interna espectralmente dependiente que el resonador proporciona a la luz lanzada en él (ver figura "Mejora de resonancia en un resonador Fabry-Pérot"). En las frecuencias de resonancia${\displaystyle \nu _{q}}$, dónde ${\displaystyle \sin(\phi )}$ es igual a cero, el factor de mejora de la resonancia interna es

${\displaystyle A_{\rm {circ}}(\nu _{q})={\frac {1}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Otras distribuciones de Airy

Mejora de la resonancia en un resonador Fabry-Pérot. ^[8] (arriba) Mejora de la resonancia interna espectralmente dependiente, que iguala la distribución genérica de Airy ${\displaystyle A_{\text{circ}}}$. La luz lanzada al resonador se ve reforzada de manera resonante por este factor. Para la curva con ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9}$, el valor pico está en ${\displaystyle A_{\text{circ}}(\nu _{q})=100}$, fuera de la escala de ordenadas. (abajo) Mejora de resonancia externa espectralmente dependiente, igualando la distribución de Airy ${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }}$. La luz que incide sobre el resonador se ve reforzada resonantemente por este factor.

Una vez que se establece la mejora de la resonancia interna, la distribución genérica de Airy, todas las demás distribuciones de Airy se pueden deducir mediante factores de escala simples. ^[8] Dado que la intensidad lanzada en el resonador es igual a la fracción transmitida de la intensidad incidente en el espejo 1,

${\displaystyle I_{\text{laun}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{inc}},}$

y las intensidades transmitidas a través del espejo 2, reflejadas en el espejo 2 y transmitidas a través del espejo 1 son las fracciones transmitidas y reflejadas / transmitidas de la intensidad que circula dentro del resonador,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{trans}}&=\left(1-R_{2}\right)I_{\text{circ}},\\I_{\text{b-circ}}&=R_{2}I_{\text{circ}},\\I_{\text{back}}&=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{b-circ}},\end{aligned}}}$

respectivamente, las otras distribuciones de Airy ${\displaystyle A}$ con respecto a la intensidad lanzada ${\displaystyle I_{\text{laun}}}$ y ${\displaystyle A^{\prime }}$ con respecto a la intensidad del incidente ${\displaystyle I_{\text{inc}}}$son ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{circ}}&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}},\\A_{\text{circ}}'&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}'={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}'={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}'={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}'={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}}',\\A_{\text{circ}}'&=\left(1-R_{1}\right)A_{\text{circ}}.\end{aligned}}}$

El índice "emitir" denota distribuciones de Airy que consideran la suma de intensidades emitidas en ambos lados del resonador.

La intensidad transmitida por la espalda ${\displaystyle I_{\text{back}}}$no se puede medir, porque también la luz inicialmente retro-reflejada se suma a la señal que se propaga hacia atrás. El caso medible de la intensidad resultante de la interferencia de ambos campos eléctricos que se propagan hacia atrás da como resultado la distribución de Airy ^[8]

${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{refl}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left({{\sqrt {R_{1}}}-{\sqrt {R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Se puede demostrar fácilmente que en un resonador Fabry-Pérot, a pesar de la ocurrencia de interferencias constructivas y destructivas, la energía se conserva en todas las frecuencias:

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }+A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}+I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}=1.}$

El factor de mejora de la resonancia externa (consulte la figura "Mejora de la resonancia en un resonador Fabry-Pérot") es ^[8]

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {I_{\text{circ}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

En las frecuencias de resonancia ${\displaystyle \nu _{q}}$, dónde ${\displaystyle \sin(\phi )}$ es igual a cero, el factor de mejora de la resonancia externa es

${\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.}$

Distribución aireada ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$ (líneas continuas), correspondiente a la luz transmitida a través de un resonador Fabry-Pérot, calculada para diferentes valores de las reflectividades ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$, y comparación con una sola línea Lorentziana (líneas discontinuas) calculada para el mismo ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$. ^[8] A la mitad del máximo (línea negra), con reflectividades decrecientes, el ancho de línea FWHM ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}}$ de la distribución de Airy se amplía en comparación con el ancho de línea de FWHM ${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$ de su línea lorentziana correspondiente: ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.9,0.6,0.32,0.172}$ resultados en ${\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}/\Delta \nu _{c}=1.001,1.022,1.132,1.717}$, respectivamente.

Por lo general, la luz se transmite a través de un resonador Fabry-Pérot. Por lo tanto, una distribución de Airy que se aplica a menudo es ^[8]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{\text{circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Describe la fracción ${\displaystyle I_{\text{trans}}}$ de la intensidad ${\displaystyle I_{\text{inc}}}$ de una fuente de luz incidente sobre el espejo 1 que se transmite a través del espejo 2 (ver figura "Distribución aireada ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$"). Su valor máximo en las frecuencias de resonancia ${\displaystyle \nu _{q}}$ es

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}}}.}$

Para ${\displaystyle R_{1}=R_{2}}$el valor pico es igual a la unidad, es decir, se transmite toda la luz que incide sobre el resonador; en consecuencia, no se refleja ninguna luz,${\displaystyle A_{\text{refl}}^{\prime }=0}$, como resultado de la interferencia destructiva entre los campos ${\displaystyle E_{{\text{refl}},1}}$ y ${\displaystyle E_{\text{back}}}$.

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$se ha derivado en el enfoque de campo circulante ^[10] al considerar un cambio de fase adicional de${\displaystyle e^{i\pi /2}}$ durante cada transmisión a través de un espejo,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{circ}}&=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\\E_{\text{trans}}&=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\end{aligned}}}$

Resultando en

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{trans}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left|-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }\right|^{2}}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Alternativamente, ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$puede obtenerse mediante el enfoque de ida y vuelta-decaimiento ^[11] trazando el número infinito de viajes de ida y vuelta que el campo eléctrico incidente${\displaystyle E_{\text{inc}}}$ exhibe después de entrar en el resonador y acumular el campo eléctrico ${\displaystyle E_{\text{trans}}}$transmitido en todos los viajes de ida y vuelta. El campo transmitido después de la primera propagación y los campos cada vez más pequeños transmitidos después de cada propagación consecutiva a través del resonador son

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{trans,1}}&=E_{\text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-i\phi }=-E_{\text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-i\phi },\\E_{{\text{trans}},m+1}&=E_{{\text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2\phi },\end{aligned}}}$

respectivamente. Explotando

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\Rightarrow E_{\text{trans}}=\sum _{m=1}^{\infty }E_{{\text{trans}},m}=E_{\text{inc}}{\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}}$

resultados en el mismo ${\displaystyle E_{\text{trans}}/E_{\text{inc}}}$ como arriba, por lo tanto, la misma distribución de Airy ${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }}$deriva. Sin embargo, este enfoque es físicamente engañoso, porque supone que la interferencia tiene lugar entre los haces desacoplados después del espejo 2, fuera del resonador, en lugar de los haces lanzados y circulantes después del espejo 1, dentro del resonador. Dado que es la interferencia la que modifica el contenido espectral, la distribución de la intensidad espectral dentro del resonador sería la misma que la distribución de la intensidad espectral incidente, y no se produciría ninguna mejora de resonancia dentro del resonador.

Distribución aireada como suma de perfiles de modo

Físicamente, la distribución de Airy es la suma de los perfiles de modo de los modos del resonador longitudinal. ^[8] Partiendo del campo eléctrico${\displaystyle E_{circ}}$ circulando dentro del resonador, se considera el decaimiento exponencial en el tiempo de este campo a través de ambos espejos del resonador, Fourier lo transforma en espacio de frecuencia para obtener las formas de las líneas espectrales normalizadas ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )}$, lo divide por el tiempo de ida y vuelta ${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$ para tener en cuenta cómo la intensidad total del campo eléctrico circulante se distribuye longitudinalmente en el resonador y se acopla por unidad de tiempo, lo que da como resultado los perfiles de modo emitido,

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1}{t_{\rm {RT}}}}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu ),}$

y luego suma los perfiles de modo emitido de todos los modos longitudinales ^[8]

${\displaystyle \sum _{q=-\infty }^{\infty }\gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1-R_{1}R_{2}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}=A_{\rm {emit}},}$

igualando así la distribución de Airy ${\displaystyle A_{\rm {emit}}}$.

Los mismos factores de escala simples que proporcionan las relaciones entre las distribuciones individuales de Airy también proporcionan las relaciones entre ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )}$y los otros perfiles de modo: ^[8]

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}},}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}}^{\prime },}$

${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }=(1-R_{1})\gamma _{q,{\rm {circ}}}.}$

Caracterización del resonador Fabry-Pérot: ancho de línea Lorentziano y delicadeza

El criterio de Taylor de resolución espectral propone que dos líneas espectrales se pueden resolver si las líneas individuales se cruzan a la mitad de la intensidad. Al lanzar luz al resonador Fabry-Pérot, midiendo la distribución de Airy, se puede derivar la pérdida total del resonador Fabry-Pérot recalculando el ancho de línea de Lorentz.${\displaystyle \Delta \nu _{c}}$, mostrado (línea azul) en relación con el rango espectral libre en la figura "Ancho de línea de Lorentz y finura versus ancho de línea de Airy y finura de un resonador Fabry-Pérot".

Ancho de línea Lorentziano y delicadeza versus ancho de línea Airy y delicadeza de un resonador Fabry-Pérot. ^[8] [Izquierda] Ancho de línea Lorentziano relativo ${\displaystyle \Delta \nu _{c}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ (curva azul), ancho de línea Airy relativo ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$(curva verde) y su aproximación (curva roja). [Derecha] delicadeza lorentziana ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ (curva azul), delicadeza Airy ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ (curva verde) y su aproximación (curva roja) en función del valor de reflectividad ${\displaystyle R_{1}R_{2}}$. Las soluciones exactas del ancho de línea de Airy y la delicadeza (líneas verdes) se descomponen correctamente en ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$, equivalente a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$, mientras que sus aproximaciones (líneas rojas) no se descomponen incorrectamente. Recuadros: Región ${\displaystyle R_{1}R_{2}<0.1}$.

El significado físico de la delicadeza lorentziana ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$de un resonador Fabry-Pérot. ^[8] Se muestra la situación de ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$, en el cual ${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$, es decir, dos líneas Lorentzianas adyacentes (líneas discontinuas de color, solo se muestran 5 líneas para mayor claridad para cada frecuencia de resonancia, ${\displaystyle \nu _{q}}$) cruzan a la mitad del máximo (línea negra continua) y se alcanza el criterio de Taylor para resolver espectralmente dos picos en la distribución de Airy resultante (línea púrpura continua, la suma de 5 líneas que se ha normalizado a la intensidad máxima de sí misma).

Las líneas Lorentzianas subyacentes pueden resolverse siempre que se obedezca el criterio de Taylor (ver figura "El significado físico de la finura Lorentziana"). En consecuencia, se puede definir la delicadeza lorentziana de un resonador Fabry-Pérot: ^[8]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{c}}}={\frac {2\pi }{-\ln(R_{1}R_{2})}}.}$

Se muestra como la línea azul en la figura "El significado físico de la delicadeza de Lorentz". La delicadeza lorentziana${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$tiene un significado físico fundamental: describe qué tan bien se pueden resolver las líneas de Lorentz que subyacen a la distribución de Airy al medir la distribución de Airy. En el punto donde

${\displaystyle \Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow R_{1}R_{2}=e^{-2\pi }\approx 0.001867,}$

equivalente a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}=1}$, se alcanza el criterio de Taylor para la resolución espectral de una única distribución de Airy. Bajo este punto,${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}<1}$, no se pueden distinguir dos líneas espectrales. Para reflectividades de espejo iguales, este punto ocurre cuando${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%}$. Por lo tanto, el ancho de línea de las líneas de Lorentz que subyacen a la distribución de Airy de un resonador de Fabry-Pérot se puede resolver midiendo la distribución de Airy, por lo que sus pérdidas de resonador se pueden determinar espectroscópicamente hasta este punto.

Escaneo del resonador Fabry-Pérot: ancho de línea aireado y delicadeza

El significado físico de la finura de Airy ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$de un resonador Fabry-Pérot. ^[8] Al escanear la longitud de Fabry-Pérot (o el ángulo de la luz incidente), las distribuciones Airy (líneas sólidas de color) se crean mediante señales en frecuencias individuales. El resultado experimental de la medición es la suma de las distribuciones individuales de Airy (línea discontinua negra). Si las señales ocurren en frecuencias ${\displaystyle \nu _{m}=\nu _{q}+m\Delta \nu _{\rm {Airy}}}$, dónde ${\displaystyle m}$ es un número entero que comienza en ${\displaystyle q}$, las distribuciones de Airy en frecuencias adyacentes están separadas entre sí por el ancho de línea ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$, cumpliendo así el criterio de Taylor para la resolución espectroscópica de dos picos adyacentes. El número máximo de señales que se pueden resolver es ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$. Dado que en este ejemplo específico las reflectividades ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=0.59928}$ han sido elegidos de tal manera que ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6}$ es un número entero, la señal para ${\displaystyle m={\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$ en la frecuencia ${\displaystyle \nu _{q}+{\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\nu _{q}+\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ coincide con la señal para ${\displaystyle m=q}$ a ${\displaystyle \nu _{q}}$. En este ejemplo, un máximo de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6}$ los picos se pueden resolver aplicando el criterio de Taylor.

Ejemplo de un resonador Fabry-Pérot con reflectividad de espejo dependiente de la frecuencia (arriba) y (abajo) los perfiles de modo distorsionados resultantes ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }}$ de los modos con índices ${\displaystyle q=2000,2001,2002}$, la suma de 6 millones de perfiles de modo (puntos rosados, que se muestran solo para algunas frecuencias) y la distribución Airy ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$. ^[8] Las líneas punteadas verticales denotan el máximo de la curva de reflectividad (negro) y las frecuencias de resonancia de los modos individuales (de color).

Cuando el resonador de Fabry-Pérot se utiliza como interferómetro de barrido, es decir, con una longitud de resonador variable (o ángulo de incidencia), se pueden distinguir espectroscópicamente líneas espectrales a diferentes frecuencias dentro de un rango espectral libre. Varias distribuciones de Airy${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$, cada uno creado por una línea espectral individual, debe resolverse. Por lo tanto, la distribución de Airy se convierte en la función fundamental subyacente y la medición entrega una suma de distribuciones de Airy. Los parámetros que cuantifican adecuadamente esta situación son el ancho de línea de Airy${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ y la delicadeza de Airy ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}}$. El ancho de línea FWHM${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ de la distribución Airy ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )}$es ^[8]

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right).}$

El ancho de línea de Airy ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$ se muestra como la curva verde en la figura "Ancho de línea Lorentziano y finura versus ancho de línea Airy y finura de un resonador Fabry-Pérot".

El concepto de definir el ancho de línea de los picos de Airy cuando FWHM se descompone en ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ (línea roja continua en la figura "Distribución aireada ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$"), porque en este punto el ancho de línea de Airy salta instantáneamente a un valor infinito para ${\displaystyle \arcsin }$función. Para valores de reflectividad más bajos de${\displaystyle R_{1}R_{2}}$, el ancho de línea FWHM de los picos de Airy no está definido. El caso límite ocurre en

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944.}$

Para reflejos de espejo iguales, este punto se alcanza cuando ${\displaystyle R_{1}=R_{2}\approx 17.2\%}$ (línea roja continua en la figura "Distribución aireada ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$").

La delicadeza de la distribución Airy de un resonador Fabry-Pérot, que se muestra como la curva verde en la figura "Ancho de línea Lorentziano y delicadeza versus ancho de línea Airy y delicadeza de un resonador Fabry-Pérot" en comparación directa con la delicadeza Lorentziana ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$, se define como ^[8]

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}={\frac {\pi }{2}}\left[\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)\right]^{-1}.}$

Al escanear la longitud del resonador Fabry-Pérot (o el ángulo de la luz incidente), la finura de Airy cuantifica el número máximo de distribuciones de Airy creadas por la luz en frecuencias individuales ${\displaystyle \nu _{m}}$dentro del rango espectral libre del resonador Fabry-Pérot, cuyos picos adyacentes pueden distinguirse espectroscópicamente sin ambigüedades, es decir, no se superponen en su FWHM (ver figura "El significado físico de la finura de Airy"). Esta definición de la finura de Airy es consistente con el criterio de Taylor de la resolución de un espectrómetro. Dado que el concepto de ancho de línea FWHM se descompone en${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$, en consecuencia, la finura de Airy se define solo hasta ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1}$, vea la figura "Ancho de línea Lorentziano y delicadeza versus ancho de línea Airy y delicadeza de un resonador Fabry-Pérot".

A menudo, la aproximación innecesaria ${\displaystyle \sin {(\phi )}\approx \phi }$ se hace al derivar de ${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ el ancho de línea de Airy ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}}$. En contraste con la solución exacta anterior, conduce a

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}\approx \Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {1}{\pi }}{\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}\approx \pi {\frac {\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.}$

Esta aproximación del ancho de línea de Airy, que se muestra como la curva roja en la figura "Ancho de línea de Lorentz y finura versus ancho de línea de Airy y finura de un resonador de Fabry-Pérot", se desvía de la curva correcta en reflectividades bajas y no se rompe incorrectamente cuando ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {Airy}}>\Delta \nu _{\rm {FSR}}}$. Esta aproximación también se utiliza normalmente para calcular la finura de Airy.

Reflectividades de espejo dependientes de la frecuencia

El caso más general de un resonador de Fabry-Pérot con reflectividades especulares dependientes de la frecuencia se puede tratar con las mismas ecuaciones anteriores, excepto que el tiempo de desintegración del fotón ${\displaystyle \tau _{c}(\nu )}$ y ancho de línea ${\displaystyle \Delta \nu _{c}(\nu )}$ahora se convierten en funciones locales de frecuencia. Mientras que el tiempo de caída de los fotones sigue siendo una cantidad bien definida, el ancho de línea pierde su significado, porque se asemeja a un ancho de banda espectral, cuyo valor ahora cambia dentro de ese mismo ancho de banda. También en este caso, cada distribución de Airy es la suma de todos los perfiles de modo subyacentes que pueden distorsionarse fuertemente. ^[8] Un ejemplo de la distribución Airy${\displaystyle A_{\rm {trans}}^{\prime }}$ y algunos de los perfiles de modo subyacentes ${\displaystyle \gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }(\nu )}$ se da en la figura "Ejemplo de un resonador Fabry-Pérot con reflectividad de espejo dependiente de la frecuencia".

Resonador Fabry-Pérot con pérdidas ópticas intrínsecas

Las pérdidas de propagación intrínsecas dentro del resonador se pueden cuantificar mediante un coeficiente de pérdida de intensidad ${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}}$ por unidad de longitud o, de manera equivalente, por la pérdida intrínseca de ida y vuelta ${\displaystyle L_{\rm {RT}},}$tal que ^[12]

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-\alpha _{\rm {loss}}2\ell }=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}.}$

La pérdida adicional acorta el tiempo de desintegración de fotones. ${\displaystyle \tau _{c}}$del resonador: ^[12]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}]}}{t_{\rm {RT}}}}+c\alpha _{\rm {loss}}.}$

dónde ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en la cavidad. La distribución genérica de Airy o el factor de mejora de la resonancia interna${\displaystyle A_{\rm {circ}}}$ luego se obtiene como se indicó anteriormente, incluyendo las pérdidas de propagación a través del coeficiente de pérdida de amplitud ${\displaystyle \alpha _{\rm {loss}}/2}$: ^[12]

${\displaystyle E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-(\alpha _{\rm {loss}}/2)2\ell }e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }}}\Rightarrow }$

${\displaystyle A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Las otras distribuciones de Airy se pueden derivar como se indicó anteriormente teniendo en cuenta adicionalmente las pérdidas de propagación. En particular, la función de transferencia con pérdida se convierte en ^[12]

${\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\rm {trans}}}{I_{\rm {inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }A_{\rm {circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.}$

Descripción del resonador de Fabry-Perot en el espacio de longitud de onda

Un etalón de Fabry-Pérot. La luz entra en el etalón y sufre múltiples reflejos internos.

La transmisión de un etalón en función de la longitud de onda. Un etalón de alta delicadeza (línea roja) muestra picos más nítidos y mínimos de transmisión más bajos que un etalón de baja delicadeza (azul).

La delicadeza en función de la reflectividad. Los factores de delicadeza muy altos requieren espejos altamente reflectantes.

"> Reproducir medios

Análisis transitorio de un etalón de Fabry-Pérot de silicio ( n = 3,4) con incidencia normal. La animación superior es para el grosor del etalón elegido para brindar la máxima transmisión, mientras que la animación inferior es para el grosor elegido para brindar la mínima transmisión.