En matemáticas , un sistema de factores (a veces llamado conjunto de factores ) es una herramienta fundamental de la teoría clásica de Otto Schreier para problemas de extensión de grupo . [1] [2] Consiste en un conjunto de automorfismos y una función binaria en un grupo que satisface cierta condición (la llamada condición de ciclo ). De hecho, un sistema factorial constituye una realización de los ciclos en el segundo grupo de cohomología en cohomología de grupo . [3]
existe un sistema factorial que consta de una función f : G × G → A y homomorfismo σ : G → Aut ( A ) tal que hace que el producto cartesiano G × A sea un grupo X como
Entonces f debe ser un "ciclo de 2 grupos" (simbólicamente, Ext ( G , A ) ≅ H 2 ( G , A ) ). De hecho, A no tiene por qué ser abeliano, pero la situación es más complicada para los grupos no abelianos [4]
Si f es trivial y σ da automorfismos internos , entonces esa extensión de grupo se divide, por lo que X se convierte en un producto semidirecto de G con A.
Si se da un álgebra de grupo , entonces un sistema de factores f modifica ese álgebra a un álgebra de grupo sesgado modificando la operación de grupo xy af ( x , y ) xy .
Sea G un grupo y L un campo en el que G actúa como automorfismos. Un sistema de factor de ciclo o (Noether) [5] : 31 es un mapa c : G × G → L * satisfactorio