En álgebra , el teorema del factor es un teorema que une factores y ceros de un polinomio . Es un caso especial del teorema del residuo polinomial . [1]
El teorema del factor establece que un polinomio tiene un factor si y solo si (es decir es una raíz). [2]
Factorización de polinomios
Dos problemas en los que se aplica comúnmente el teorema del factor son los de factorizar un polinomio y encontrar las raíces de una ecuación polinomial; es una consecuencia directa del teorema de que estos problemas son esencialmente equivalentes.
El teorema del factor también se utiliza para eliminar los ceros conocidos de un polinomio y dejar intactos todos los ceros desconocidos, lo que produce un polinomio de menor grado cuyos ceros pueden ser más fáciles de encontrar. En resumen, el método es el siguiente: [3]
- "Adivina" un cero del polinomio . (En general, esto puede ser muy difícil , pero los problemas de libros de texto de matemáticas que implican la resolución de una ecuación polinomial suelen estar diseñados para que algunas raíces sean fáciles de descubrir).
- Usa el teorema del factor para concluir que es un factor de .
- Calcule el polinomio , por ejemplo usando división polinomial larga o división sintética .
- Concluya que cualquier raíz de es una raíz de . Dado que el grado polinomial de es uno menos que el de , es "más sencillo" encontrar los ceros restantes estudiando .
Ejemplo
Encuentra los factores de
Para hacer esto, se usaría prueba y error (o el teorema de la raíz racional ) para encontrar el primer valor de x que hace que la expresión sea igual a cero. Para saber si es un factor, sustituto en el polinomio anterior:
Como esto es igual a 18 y no a 0. Esto significa no es un factor de . Entonces, lo siguiente que intentamos (sustituyendo en el polinomio):
Esto es igual a . Por lo tanto, que es decir , es un factor, y es una raíz de
Las siguientes dos raíces se pueden encontrar dividiendo algebraicamente por para obtener una cuadrática:
y por lo tanto y son factores de De estos, el factor cuadrático se puede factorizar aún más usando la fórmula cuadrática , que da como raíces de la cuadráticaAsí, los tres factores irreductibles del polinomio original son y
Referencias
- ^ Sullivan, Michael (1996), Álgebra y trigonometría , Prentice Hall, p. 381, ISBN 0-13-370149-2.
- ^ Sehgal, VK; Gupta, Sonal, Longman ICSE Matemáticas Clase 10 , Dorling Kindersley (India), pág. 119, ISBN 978-81-317-2816-1.
- ^ Bansal, RK, Comprehensive Mathematics IX , Publicaciones Laxmi, p. 142, ISBN 81-7008-629-9.