En álgebra , el teorema del residuo polinomial o teorema del pequeño Bézout (llamado así por Étienne Bézout ) [1] es una aplicación de la división euclidiana de polinomios . Afirma que el resto de la división de un polinomio por un polinomio lineal es igual a En particular, es un divisor de si y solo si [2] una propiedad conocida como el teorema del factor .
Ejemplos de
Ejemplo 1
Dejar . División polinomial de por da el cociente y el resto . Por lo tanto,.
Ejemplo 2
Demuestre que el teorema del residuo polinomial se cumple para un polinomio arbitrario de segundo grado mediante el uso de manipulación algebraica:
Multiplicar ambos lados por ( x - r ) da
- .
Desde es el resto, de hecho hemos demostrado que .
Prueba
El teorema del residuo polinómico se deriva del teorema de la división euclidiana , que, dados dos polinomios f ( x ) (el dividendo) y g ( x ) (el divisor), afirma la existencia (y la unicidad) de un cociente Q ( x ) y un resto R ( x ) tal que
Si el divisor es donde r es una constante, entonces R ( x ) = 0 o su grado es cero; en ambos casos, R ( x ) es una constante que es independiente de x ; es decir
Configuración en esta fórmula obtenemos:
Una prueba ligeramente diferente, que a algunas personas les puede parecer más elemental, comienza con una observación de que es una combinación lineal de términos de la forma cada uno de los cuales es divisible por desde
Aplicaciones
El teorema del residuo polinomial se puede utilizar para evaluar calculando el resto, . Aunque la división larga de polinomios es más difícil que evaluar la función en sí, la división sintética es computacionalmente más fácil. Por tanto, la función puede evaluarse de forma más "barata" mediante la división sintética y el teorema del resto polinomial.
El teorema del factor es otra aplicación del teorema del resto: si el resto es cero, entonces el divisor lineal es un factor. Se puede usar la aplicación repetida del teorema del factor para factorizar el polinomio. [3]
Referencias
- ^ Piotr Rudnicki (2004). "Teorema del pequeño Bézout (teorema del factor)" (PDF) . Matemáticas formalizadas . 12 (1): 49–58.
- ^ Larson, Ron (2014), Álgebra universitaria, Aprendizaje Cengage
- ^ Larson, Ron (2011), Precálculo con límites, Aprendizaje Cengage