En matemáticas , se puede demostrar que cada función puede escribirse como el compuesto de una función sobreyectiva seguida de una función inyectiva . Los sistemas de factorización son una generalización de esta situación en la teoría de categorías .
Definición
Un sistema de factorización ( E , M ) para una categoría C consta de dos clases de morfismos E y M de C tales que:
- Ambos E y M contienen todos los isomorfismos de C y están cerrados bajo composición.
- Cada morfismo f de C se puede factorizar como para algunos morfismos y .
- La factorización es funtorial : si y son dos morfismos tales que para algunos morfismos y , entonces existe un morfismo único haciendo el siguiente diagrama de conmutación :
Observación: es un morfismo de a en la categoría de flechas .
Ortogonalidad
Dos morfismos y se dice que son ortogonales , denotados, si por cada par de morfismos y tal que hay un morfismo único tal que el diagrama
conmuta. Esta noción se puede ampliar para definir las ortogonales de conjuntos de morfismos mediante
- y
Ya que en un sistema de factorización contiene todos los isomorfismos, la condición (3) de la definición es equivalente a
- (3 ') y
Prueba: En el diagrama anterior (3), tome (identidad en el objeto apropiado) y .
Definición equivalente
El par de clases de morfismos de C es un sistema de factorización si y solo si satisface las siguientes condiciones:
- Cada morfismo f de C se puede factorizar como con y
- y
Sistemas de factorización débiles
Supongamos e y m son dos morfismos en una categoría C . Entonces e tiene la propiedad de elevación izquierdo con respecto a m (respectivamente m tiene la propiedad de elevación derecho con respecto a e ) cuando para cada par de morfismos u y v tal que han = mu hay un morfismo w tal que los siguientes diagrama conmuta. La diferencia con la ortogonalidad es que w no es necesariamente único.
Un sistema de factorización débil ( E , M ) para una categoría C consta de dos clases de morfismos E y M de C tales que: [1]
- La clase E es exactamente la clase de morfismos que tienen la propiedad de elevación izquierdo con respecto a cada morfismo en M .
- La clase M es exactamente la clase de morfismos que tienen la propiedad de elevación correcta con respecto a cada morfismo en E .
- Cada morfismo f de C se puede factorizar como para algunos morfismos y .
Esta noción conduce a una definición sucinta de las categorías del modelo : una categoría del modelo es un par que consta de una categoría C y clases de (las llamadas) equivalencias débiles W , fibraciones F y cofibraciones C de modo que
- C tiene todos los límites y colimits,
- es un sistema de factorización débil, y
- es un sistema de factorización débil. [2]
Una categoría de modelo es una categoría completa y cocompleta equipada con una estructura de modelo. Un mapa se llama fibración trivial si pertenece a y se llama una cofibración trivial si pertenece a Un objeto se llama fibrante y el morfismo al objeto terminal es una fibración, y se llama cobrante si el morfismo del objeto inicial hay una cofibración. [3]
Referencias
- ↑ Riehl (2014 , §11.2)
- ↑ Riehl (2014 , §11.3)
- ^ Valery Isaev - Sobre objetos fibrosos en categorías modelo.
- Peter Freyd , Max Kelly (1972). "Categorías de Functores Continuos I". Revista de álgebra pura y aplicada . 2 .
- Riehl, Emily (2014), Teoría de homotopía categórica , Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9781107261457 , ISBN 978-1-107-04845-4, MR 3221774
enlaces externos
- Riehl, Emily (2008), Sistemas de factorización (PDF)