El flujo de Fanno es el flujo adiabático a través de un conducto de área constante donde se considera el efecto de la fricción . [1] Los efectos de la compresibilidad a menudo entran en consideración, aunque el modelo de flujo de Fanno ciertamente también se aplica al flujo incompresible . Para este modelo, el área del conducto permanece constante, se supone que el flujo es constante y unidimensional, y no se agrega masa dentro del conducto. El modelo de flujo de Fanno se considera un proceso irreversible debido a efectos viscosos. La fricción viscosa hace que las propiedades de flujo cambien a lo largo del conducto. El efecto de fricción se modela como un esfuerzo cortante en la pared que actúa sobre el fluido con propiedades uniformes sobre cualquier sección transversal del conducto.
Para un flujo con un número de Mach aguas arriba superior a 1,0 en un conducto lo suficientemente largo, se produce una desaceleración y el flujo puede obstruirse . Por otro lado, para un flujo con un número de Mach aguas arriba inferior a 1,0, se produce una aceleración y el flujo puede obstruirse en un conducto suficientemente largo. Se puede demostrar que para el flujo de gas calóricamente perfecto, la entropía máxima ocurre en M = 1.0. El flujo de Fanno lleva el nombre de Gino Girolamo Fanno .
Teoría
El modelo de flujo de Fanno comienza con una ecuación diferencial que relaciona el cambio en el número de Mach con respecto a la longitud del conducto, dM / dx . Otros términos en la ecuación diferencial son la relación de capacidad calorífica , γ , el factor de fricción de Fanning , f , y el diámetro hidráulico , D h :
Suponiendo que el factor de fricción de Fanning es una constante a lo largo de la pared del conducto, la ecuación diferencial se puede resolver fácilmente. [2] [3] Se debe tener en cuenta, sin embargo, que el valor del factor de fricción de Fanning puede ser difícil de determinar para velocidades de flujo supersónicas y especialmente hipersónicas . La relación resultante se muestra a continuación, donde L * es la longitud requerida del conducto para bloquear el flujo, asumiendo que el número de Mach aguas arriba es supersónico. El lado izquierdo a menudo se denomina parámetro Fanno.
Igualmente importante para el modelo de flujo de Fanno es la relación adimensional del cambio en la entropía sobre la capacidad calorífica a presión constante, c p .
La ecuación anterior se puede reescribir en términos de una relación de temperatura estática a estancamiento, que, para un gas calóricamente perfecto, es igual a la relación de entalpía adimensional, H :
La ecuación anterior se puede utilizar para trazar la línea de Fanno, que representa un lugar geométrico de estados para condiciones de flujo de Fanno dadas en un diagrama H - ΔS . En el diagrama, la línea de Fanno alcanza la entropía máxima en H = 0.833 y el flujo se ahoga. Según la Segunda ley de la termodinámica , la entropía siempre debe aumentar para el flujo de Fanno. Esto significa que un flujo subsónico que ingresa a un conducto con fricción tendrá un aumento en su número de Mach hasta que el flujo se ahogue. Por el contrario, el número de Mach de un flujo supersónico disminuirá hasta que el flujo se ahogue. Cada punto en la línea de Fanno se corresponde con un número de Mach diferente, y el movimiento al flujo estrangulado se muestra en el diagrama.
La línea de Fanno define los posibles estados de un gas cuando el caudal másico y la entalpía total se mantienen constantes, pero la cantidad de movimiento varía. Cada punto de la línea de Fanno tendrá un valor de impulso diferente, y el cambio en el impulso es atribuible a los efectos de la fricción. [4]
Relaciones adicionales de flujo de Fanno
Como se mencionó anteriormente, el área y la tasa de flujo másico en el conducto se mantienen constantes para el flujo de Fanno. Además, la temperatura de estancamiento se mantiene constante. Estas relaciones se muestran a continuación con el símbolo * que representa la ubicación de la garganta donde puede ocurrir asfixia. Una propiedad de estancamiento contiene un subíndice 0.
También se pueden desarrollar y resolver ecuaciones diferenciales para describir las relaciones de propiedad de flujo de Fanno con respecto a los valores en la ubicación de estrangulamiento. Las relaciones de presión, densidad, temperatura, velocidad y presión de estancamiento se muestran a continuación, respectivamente. Se representan gráficamente junto con el parámetro Fanno.
Aplicaciones
El modelo de flujo de Fanno se utiliza a menudo en el diseño y análisis de boquillas. En una boquilla, el área convergente o divergente se modela con flujo isentrópico, mientras que la sección de área constante posteriormente se modela con flujo Fanno. Para las condiciones aguas arriba dadas en el punto 1 como se muestra en las Figuras 3 y 4, se pueden hacer cálculos para determinar el número de Mach de salida de la boquilla y la ubicación de un choque normal en el conducto de área constante. El punto 2 etiqueta la garganta de la boquilla, donde M = 1 si el flujo está obstruido. El punto 3 etiqueta el extremo de la boquilla donde el flujo pasa de isentrópico a Fanno. Con una presión inicial lo suficientemente alta, el flujo supersónico se puede mantener a través del conducto de área constante, similar al rendimiento deseado de un túnel de viento supersónico de tipo purga . Sin embargo, estas cifras muestran la onda de choque antes de que se haya movido por completo a través del conducto. Si hay una onda de choque, el flujo pasa de la porción supersónica de la línea de Fanno a la porción subsónica antes de continuar hacia M = 1. El movimiento en la Figura 4 es siempre de izquierda a derecha para satisfacer la segunda ley de termodinámica.
El modelo de flujo de Fanno también se usa ampliamente con el modelo de flujo de Rayleigh . Estos dos modelos se cruzan en puntos de los diagramas de entalpía-entropía y número de Mach-entropía, lo cual es significativo para muchas aplicaciones. Sin embargo, los valores de entropía para cada modelo no son iguales en el estado sónico. El cambio en la entropía es 0 en M = 1 para cada modelo, pero la declaración anterior significa que el cambio en la entropía desde el mismo punto arbitrario al punto sónico es diferente para los modelos de flujo de Fanno y Rayleigh. Si se definen los valores iniciales de s i y M i, se puede definir una nueva ecuación para la entropía adimensional versus el número de Mach para cada modelo. Estas ecuaciones se muestran a continuación para el flujo de Fanno y Rayleigh, respectivamente.
La Figura 5 muestra las líneas de Fanno y Rayleigh que se cruzan entre sí para las condiciones iniciales de s i = 0 y M i = 3. Los puntos de intersección se calculan equiparando las nuevas ecuaciones de entropía adimensional entre sí, lo que da como resultado la siguiente relación.
Los puntos de intersección ocurren en el número de Mach inicial dado y su valor de choque post- normal . Para la Figura 5, estos valores son M = 3 y 0.4752, que se pueden encontrar en las tablas de choque normales enumeradas en la mayoría de los libros de texto de flujo compresible. Un flujo dado con un área de conducto constante puede cambiar entre los modelos de Fanno y Rayleigh en estos puntos.
Ver también
Referencias
- ^ Shapiro, AH, La dinámica y termodinámica del flujo de fluido compresible, Volumen 1 , Ronald Press, 1953.
- ^ Zucker, RD, Biblarz, O., Fundamentos de la dinámica de los gases , John Wiley & Sons, 2002.
- ^ Hodge, BK y Koenig, K., Dinámica de fluidos compresibles con aplicaciones de computadora personal , Prentice Hall, 1995.
- ^ Los fenómenos de movimientos fluidos, RS Brodkey, p187, RS Brodkey (pub), 1995