En matemáticas, el teorema de Fejér , [1] [2] llamado así por el matemático húngaro Lipót Fejér , establece que si f : R → C es una función continua con período 2π, entonces la secuencia (σ n ) de Cesàro significa de la secuencia ( s n ) de sumas parciales de la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en [-π, π].
Explícitamente,
dónde
y
siendo F n el núcleo de Fejér de n- ésimo orden .
Una forma más general del teorema se aplica a funciones que no son necesariamente continuas ( Zygmund 1968 , Teorema III.3.4). Suponga que f está en L 1 (-π, π). Si los límites izquierdo y derecho f ( x 0 ± 0) de f ( x ) existen en x 0 , o si ambos límites son infinitos del mismo signo, entonces
También se implica la existencia o divergencia al infinito del medio Cesàro. Por un teorema de Marcel Riesz , el teorema de Fejér se cumple exactamente como se indica si la media (C, 1) σ n se reemplaza con la media (C, α) de la serie de Fourier ( Zygmund 1968 , Teorema III.5.1).
Referencias
- ↑ Lipót Fejér, «Sur les fonctions intégrables et bornées» , CR Acad. Sci. París , 10 de diciembre de 1900, 984-987,.
- ^ Leopold Fejér, Untersuchungen über Fouriersche Reihen , Math. Annalen , vol. 58 , 1904, 51-69.
- Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2.a ed.), Cambridge University Press (publicada en 1988), ISBN 978-0-521-35885-9.