Teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados
En la teoría de números aditivos , el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados establece que un primo impar p se puede expresar como:
Los números primos para los que esto es cierto se llaman primos pitagóricos . Por ejemplo, los números primos 5, 13, 17, 29, 37 y 41 son todos congruentes con 1 módulo 4 y se pueden expresar como sumas de dos cuadrados de la siguiente manera:
Por otro lado, los primos 3, 7, 11, 19, 23 y 31 son todos congruentes con 3 módulo 4, y ninguno de ellos se puede expresar como la suma de dos cuadrados. Esta es la parte más fácil del teorema y se sigue inmediatamente de la observación de que todos los cuadrados son congruentes con 0 o 1 módulo 4.
Dado que la identidad de Diofanto implica que el producto de dos números enteros, cada uno de los cuales puede escribirse como la suma de dos cuadrados, se puede expresar como la suma de dos cuadrados, al aplicar el teorema de Fermat a la descomposición en factores primos de cualquier número entero positivo n , vemos que si todos los factores primos de n congruentes con 3 módulo 4 ocurren en un exponente par, entonces n se puede expresar como una suma de dos cuadrados. Lo contrario también vale. [1] Esta generalización del teorema de Fermat se conoce como el teorema de la suma de dos cuadrados .
Albert Girard fue el primero en hacer la observación, describiendo todos los números enteros positivos (no necesariamente primos) expresables como la suma de dos cuadrados de números enteros positivos; esto se publicó en 1625. [2] [3] La afirmación de que todo primo p de la forma 4n+1 es la suma de dos cuadrados a veces se denomina teorema de Girard . [4] Por su parte, Fermat escribió una versión elaborada del enunciado (en la que también daba el número de posibles expresiones de las potencias de p como suma de dos cuadrados) en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640: por esta razón, esta versión del teorema a veces se llamaTeorema de Navidad de Fermat.
Un entero gaussiano es un número complejo tal que a y b son enteros. La norma de un entero gaussiano es un entero igual al cuadrado del valor absoluto del entero gaussiano. La norma de un producto de enteros gaussianos es el producto de su norma. Esta es la identidad de Diofanto , que resulta inmediatamente de la propiedad similar del valor absoluto.
