En teoría de números , el teorema de la suma de dos cuadrados relaciona la descomposición prima de cualquier número entero n > 1 con si se puede escribir como una suma de dos cuadrados , de modo que n = a 2 + b 2 para algunos números enteros a , b .
- Un número entero mayor que uno puede escribirse como una suma de dos cuadrados si y solo si su descomposición prima no contiene un término p k , donde prima y k es impar . [1]
Si es un cuadrado perfecto, se puede escribir con el caso trivial aplicado, configurando (o ) a cero: (Algunos cuadrados perfectos también tienen casos no triviales como y , también conocido como triples pitagóricos ).
Este teorema complementa el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados, que dice cuándo se puede escribir un número primo como una suma de dos cuadrados, ya que también cubre el caso de los números compuestos .
Ejemplos de
La descomposición prima del número 2450 está dada por 2450 = 2 · 5 2 · 7 2 . De los primos que ocurren en esta descomposición, 2, 5 y 7, solo 7 es congruente con 3 módulo 4. Su exponente en la descomposición, 2, es par . Por tanto, el teorema establece que se puede expresar como la suma de dos cuadrados. De hecho, 2450 = 7 2 + 49 2 .
La descomposición prima del número 3430 es 2 · 5 · 7 3 . Esta vez, el exponente de 7 en la descomposición es 3, un número impar. Entonces, 3430 no se puede escribir como la suma de dos cuadrados.
Ver también
- Identidad Brahmagupta-Fibonacci . Esta identidad implica que el conjunto de todas las sumas de dos cuadrados se cierra con la multiplicación.
- Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange
- Constante de Landau-Ramanujan , utilizada en una fórmula para la densidad de los números que son sumas de dos cuadrados
- Teorema de los tres cuadrados de Legendre
- Triple pitagórica
- Función suma de cuadrados
Referencias
- ^ Dudley, Underwood (1969). "Sumas de dos cuadrados" . Teoría elemental de números . WH Freeman and Company. págs. 135-139.